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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`cot^-1 [(sqrt(1 + sin x) + sqrt(1 - sin x))/(sqrt(1 + sin x) - sqrt(1 - sin x))]`, 0 < x < `pi/2`
उत्तर
माना, y = `cot^-1 [(sqrt(1 + sin x) + sqrt(1 - sin x))/(sqrt(1 + sin x) - sqrt(1 - sin x))]`
अब, `1 + sin x = sin^2 x/2 + cos^2 x/2 + 2 sin x/2 cos x/2`
`= (cos x/2 + sin x/2)`
`therefore sqrt(1 + sin x) = cos x/2 + sin x/2`
इसी प्रकार,
`sqrt(1 + sin x) = cos x/2 + sin x/2`
y = `cot^-1 [((cos x/2 + sin x/2) + (cos x/2 - sin x/2))/((cos x/2 + sin x/2) - (cos x/2 + sin x/2))]`
`= cot^-1 [(cos x/2 + sin x/2 + cos x/2 - sin x/2)/(cos x/2 + sin x/2 - cos x/2 + sin x/2)]`
`= cot^-1 [(2 cos x/2)/(2 sin x/2)]`
`= cot^-1 (cot x/2)`
y = `x/2`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = 1/2 * d/dx (x) = 1/2`
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निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
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(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
`2^(cos^(2_x)`
`tan^-1 (sqrt((1 - cosx)/(1 + cosx))), - pi/4 < x < pi/4`
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
`tan^-1 ((3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)), (-1)/sqrt(3) < x/"a" < 1/sqrt(3)`
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
tan–1(x2 + y2) = a
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = y/x`
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
यदि f(x) = |cosx| तो `"f'"(pi/4)` = ______
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[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
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