Question

If x = `"pab"/(a + b)`, provee that `(x + pa)/(x - pa) - (x + pb)/(x - pb) = (2(a^2 - b^2))/(ab)`

Answer 1

x = `"pab"/(a + b)`

⇒ `x/(pa) + b/(a + b)`
Applying componendo and dividendo

`(x + pa)/(x - pa)`

= `(b + a + b)/(b - a - b)`

= `(a + 2b)/(-a)`   ....(i)

Again, `x/(pb)`

= `a/(a + b)`
Applying componendo and dividendo,

`(x + pb)/(x - pb)`

= `(a + a + b)/(a - a - b)`

= `(2a + b)/(-b)`   ....(ii)
L.H.S. = `(x + pa)/(x - pa) - (x + pb)/(x - pb)`

= `(a + 2b)/(-a) - (2a + b)/(-b)`

= `(a + 2b)/(-a) + (2a + b)/(b)`

= `(ab + 2b^2  2a^2 - ab)/(-ab)`

= `(2b^2 - 2a^2)/(-ab)`

= `(-2a^2 + 2b^2)/(-ab)`

= `(-2(a^2 - b^2))/(-ab)`

= `(2(a^2 - b^2))/(ab)`
= R.H.S.