Question

सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y² और xy = k एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं, यदि 8k² = 1 है।

Answer 1

वक्र x = y²        …(1)

तथा xy = k        …(2)

x का मान समीकरण (2) में रखने पर,

y². y = k → y³ = k ∴ y = k^1/3 तथा x = k^2/3

अतः दिए गए वक्र एक-दूसरे को P(k^2/3, x^1/3) पर काटते हैं।

समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`1 = 2"y" "dy"/"dx"`

`=> "dy"/"dx" = 1/"2y"`

P पर वक्र (1) की प्रवणता `= 1/(2"k"^(1//3)) = "m"_1`   (माना)   ...(3)

समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने से,

`1 * "y" + x "dy"/"dx" = 0`

`therefore "dy"/"dx" = - "y"/x`

∴ P(k^2/3, k^1/3) पर वक्र (2) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता

`= ("k"^(1//3))/("k"^(2//3)) = - 1/"k"^(1//3) = "m"_2`      (मान लिया)

दोनों वक्र एक दूसरे पर समकोण पर काटते हैं।

∴ m₁m₂ = - 1

`=> 1/(2"k"^(1//3)) xx (- 1/"k"^(1//3))` = - 1

`=> 1/(2"k"^(2//3)) = 1`

`=> 2"k"^(2//3) = 1`

⇒ 8k² = 1