Question

वक्र y = x³ + 2x + 6 के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समान्तर हैं।

Answer 1

वक्र का समीकरण, y = x³ + 2x + 6

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`"dy"/"dx" = 3x^2 + 2`

बिन्दु (x₁, y₁) पर प्रवणता = 3x² + 2

⇒ अभिलंब की प्रवणता `= - 1/"m" = - 1/(3x_1^2 + 2)`     ...(1)

अभिलंब x + 14y + 4 = 0 के समांतर है।

प्रवणता `= -1/14`      ....(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

`- 1/(3x_1^2 + 2) = - 1/14`

`=> 3x_1^2 + 2 = 14`

`=> 3x_1^2 = 14 - 2`

= 12

`x_1^2 = 4`

∴ x₁ = ± 2

जब `x_1 = 2, "y"_1 = x_1^3 + 2x_1 + 6`

= 8 + 4 + 6 = 18

जब x₁ = 2,

`"y"_1 = - 8 - 4 + 6`

= - 6

बिन्दु (2, 18) पर अभिलंब का समीकरण,

`"y" - 18 = -1/14 (x - 2)`

`=> 14"y" - 252 = - x + 2`

∴ x + 14 y - 254 = 0

बिन्दु (-2, -6) पर अभिलंब का समीकरण

`"y + 6" = - 1/14 (x + 2)`

`=> 14"y" + 84 = - x + 2`

`=> x + 14 "y" + 84 + 2 = 0`

∴ x + 14y + 86 = 0