Question

प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y ${\displaystyle =\frac{1}{\text{x}-3},\text{x}\ne 3}$ को स्पर्श करती है।

Answer 1

दिया है, वक्र का समीकरण y ${\displaystyle =\frac{1}{\text{x}-3}}$

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{(\text{x}-3)\frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(1\right)-1\frac{\text{d}}{\text{dx}}(\text{x}-3)}{{(\text{x}-3)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{0-(1-0)}{{(\text{x}-3)}^2}}$ या

${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=-\frac{1}{{(\text{x}-3)}^2}}$         ...(1)

चूँकि स्पर्श रेखा की प्रवणता = 2        ...(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

⇒ ${\displaystyle -\frac{1}{{(\text{x}-3)}^2}=2}$

⇒ 2(x - 3)²

⇒ - 1

${\displaystyle \therefore {(\text{x}-3)}^2=-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \text{x}-3=\pm \sqrt{\frac{-1}{2}}}$

${\displaystyle \because }$ यह संभव नहीं है।

अत: ऐसी कोई भी स्पर्श रेखा नहीं होगी जिसकी प्रवणता 2 है।