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Question
यदि `"sin" ("sin"^-1 1/5 + "cos"^-1 "x") = 1,` तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution
`"sin" ("sin"^-1 1/5 + "cos"^-1 "x") = 1`
`Rightarrow "sin" ("sin"^-1 1/5) "cos" ("cos"^-1 "x") + "cos" ("sin"^-1 1/5) "sin" ("cos"^-1 "x") = 1` ...`["sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B"]`
`1/5 xx x + cos ("sin"^-1 1/5) "sin" ("cos"^-1 "x") = 1`
`"x"/5 + "cos" ("sin"^-1 1/5) "sin" ("cos"^-1 "x") = 1` ...(1)
`"sin"^-1 1/5 = "y"`
`"sin y" = 1/5`
`Rightarrow "cos y" sqrt(1 - (1/5)^2) = (2sqrt6)/5`
`Rightarrow "y" = "cos"^-1 ((2 sqrt6)/5)`
`therefore "sin"^-1 1/5 = "cos"^-1 ((2sqrt6)/5)` ...(2)
`"cos"^-1 "x" = z`
`"cos z" = "x"`
`Rightarrow "sin z" = sqrt(1 - "x"^2)`
`Rightarrow z = "sin"^-2 (sqrt(1 - "x"^2))`
`therefore "cos"^-1 "x" = "sin"^-1 (sqrt(1 - "x"^2))`
(1), (2) और (3)
`"x"/5 + "cos" ("cos"^-1 ((2sqrt6)/5)) "sin" ("sin"^-1 (sqrt(1 - "x"^2))) = 1`
`Rightarrow "x"/5 + (2sqrt6)/5 * sqrt(1 - "x"^2) = 1`
`Rightarrow "x" + 2sqrt6 * sqrt(1 - "x"^2) = 5`
`Rightarrow 2sqrt6 * sqrt(1 - "x"^2) = 5 - "x"`
`Rightarrow (2sqrt6 * sqrt(1 - "x"^2))^2 = (5 - "x")^2`
`Rightarrow (4) (6) (1 - "x"^2) = 25 + "x"^2 - 10 "x"`
`Rightarrow 24 - 24 "x"^2 = 25 + "x"^2 - 10 "x"`
`Rightarrow 25 "x"^2 - 10 "x" + 1 = 0`
`Rightarrow (5 "x" - 1)^2 = 0`
`Rightarrow 5 "x" - 1 = 0`
`Rightarrow 5 "x" = 1`
`Rightarrow "x" = 1/5`
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