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प्रश्न
[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
उत्तर
हमारे पास, f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
Since बहुपद फलन x(x + 3) और घातांकीय फलन `"e"^((-x)/2)` R में संतत और अवकलनीय हैं, दिया गया फलन, f(x) भी संतत और R में अवकलनीय है
साथ ही f(0) = f(–3) = 0
अतः रोले के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं।
इसलिए, एक वास्तविक संख्या c ∈ (–3, 0) इस प्रकार मौजूद है कि f'(c) = 0
अब f(x) = `(x^2 + 3x)"e"^((-x)/2)`
∴ f'(x) = `(2x + 3)"e"^((-x)/2) - 1/2 "e"^((-x)/2) (x^2 + 3x)`
= `- 1/2 "e"^((-x)/2) (x^2 + 3x - 4x - 6)`
= `-1/2 "e"^((-x)/2)(x^2 - x - 6)`
तो, f'(x) = 0
⇒ `- 1/2 "e"^((-x)/2) ("c" + 2)("c" - 3)` = 0
⇒ c = –2 ∈ (–3, 0)
इसलिए, रोले के प्रमेय को सत्यापित किया गया है।
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