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प्रश्न
θ का वह वास्तविक मान, जिसके लिए `(1 + i cos theta)/(1 - 2i cos theta)` एक वास्तविक संख्या है, निम्नलिखित में से कौन सा है:
पर्याय
`npi + pi/4`
`npi + (-1)^n pi/4`
`2npi +- pi/2`
इनमें से कोई नहीं
उत्तर
`bb(2npi +- pi/2)`
स्पष्टीकरण:
देखिए z = `(1 + i cos theta)/(1 - 2i cos theta)`
इसके संयुग्म के साथ गुणा करें।
= `(1 + i cos theta)/(1 - 2i cos theta) xx (1 + 2i cos theta)/(1 + 2i cos theta)`
= `(1 + 2i cos theta + i cos theta + 2i^2 cos^2 theta)/(1 - 4i^2 cos^2 theta)`
= `(1 + 3i cos theta - 2 cos^2 theta)/(1 + 4 cos^2 theta)`
आगे हल करें।
= `(1 - 2 cos^2 theta)/(1 + 4 cos^2 theta) + (3 cos theta)/(1 + 4 cos^2 theta)i`
जानते हैं कि, विशुद्ध रूप से z वास्तविक है।
⇒ `(3 cos theta)/(1 + 4cos^2 theta)` = 0
⇒ 3cosθ = 0
⇒ cosθ = 0
⇒ θ = `2npi +- pi/2`, n ∈ N
सही विकल्प `2npi +- pi/2` है।
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