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Question
[0, π] में f(x) = sinx – sin2x
Solution
हमारे पास, [0, π] में f(x) = sinx – sin2x
हम जानते हैं कि सभी त्रिकोणमितीय फलन संतत और अवकलनीय होते हैं, उनका प्रांत, दिया गया फलन भी संतत और अवकलनीय होता है।
अतः माध्य मान प्रमेय की स्थिति संतुष्ट होती है।
इसलिए, कम से कम एक c ∈ (0, π) मौजूद है जैसे कि,
f'(c) = `("f"(pi) - "f"(0))/(pi - 0)`
⇒ cos c – 2 cos 2c = `(sin pi - sin 2pi - sin 0 + sin 0)/(pi - 0)`
⇒ 2 cos 2c – cos c = 0
⇒ 2(2 cos2c – 1) – cos c = 0
⇒ 4cos2c – cos c – 2 = 0
⇒ cos c = `(1 +- sqrt(1 + 32))/8`
= `(1 +- sqrt(33))/8`
⇒ c = `cos^-1 ((1 +- sqrt(33))/8) ∈ (0, π)`
इसलिए, माध्य मान प्रमेय सत्यापित किया गया है।
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x = 4 पर f(x) = `{{:(|x - 4|/(2(x - 4))",", "यदि" x ≠ 4),(0",", "यदि" x = 4):}`
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
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tan–1(x2 + y2) = a
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`[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x`
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
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