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Question
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
Solution
दिया गया है, f: R → R सभी x, y ∈ R, f(x) ≠ 0 के लिए समीकरण f( x + y) = f(x) f(y) को संतुष्ट करता है।
आइए हम कोई ऐसा बिंदु x = 0 लें, जिस पर फलन f(x) अवकलनीय हो।
∴ f'(0) = `lim_("h" -> 0) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
2 = `lim_("h" -> 0) ("f"(0) * "f"("h") - "f"(0))/"h"` ......[∵ f(0) = f(h)] ....(i)
⇒ 2 = `lim_("h" -> 0) ("f"(0)["f"("h") - 1])/"h"`
अब f'(x) = `lim_("h" -> 0) ("f"(x + "h") - "f"(x))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("f"(x) * "f"("h") - "f"(x))/"h"` .....[∵ f(x + y) = f(x) . f(y)]
= `lim_("h" -> 0) ("f"(x)["f"("h") - 1])/"h"`
= 2f(x)
समीकरण (i) से
इसलिए, f'(x) = 2f(x)
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x = 0 पर f(x) = `{{:((sqrt(1 + "k"x) - sqrt(1 - "k"x))/x",", "यदि" -1 ≤ x < 0),((2x + 1)/(x - 1)",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1):}`
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