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Question
प्रश्न में प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`(sin x)^x + sin^-1 sqrtx`
Solution
माना y = `(sin x)^x + sin^-1 sqrtx`
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = (du)/dx + dv/dx` ...(1)
`therefore u = (sin x)^x`
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,
log u = log `(sin x)^x` = x log sin x
दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = x d/dx log sin x + log sin x d/dx (x)`
`= x 1/(sin x) d/dx (sin x) + log sin x xx 1`
`= x * 1/(sin x) * cos x + log sin x xx 1 = x cot x + log sin x`
`therefore (du)/dx = u (x cot x + log sin x)`
= (sin x)x [log sin x + x cot x] ...(2)
पुन: v = `sin^-1 sqrt x`
दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`dv/dx = d/dx sin^-1 sqrt x = 1/sqrt(1 - x) d/dx x^(1/2)`
`= 1/sqrt(1 - x) 1/2 x^(-1/2)`
`= 1/(2sqrtx sqrt(1 - x))` ...(3)
समीकरण (2) तथा (3) से `(du)/dx` तथा `dv/dx` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`dy/dx = (sin x)^x [log sin x + x cot x] + 1/(2sqrt x sqrt(1 - x))`
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