Question

(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए

1. गुणनफल नियम का प्रयोग करके
2. गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
3. लघुगणकीय अवकलन द्वारा

यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।

Answer 1

(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा।

माना y = (x² – 5x + 8). (x³ + 7x + 9)

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`dy/dx = (x^2 = 5x + 8) d/dx(x^3 + 7x + 9) + (x^3 + 7x + 9) d/dx (x^2 - 5x + 8)`

`dy/dx = (x^2 - 5x + 8) (3x^2 + 7) + (x^3 + 7x + 9)(2x - 5)`

`= 3x^2 (x^2 - 5x + 8) + 7 (x^2 - 5x + 8) + 2x (x^3 + 7x + 9) - 5 (x^3 + 7x + 9)`

`= 3x^4 - 15x^3 + 24x^2 + 7x^2 - 35x + 56 + 2x^4 + 14x^2 + 18 x - 5x^3 - 35 x - 45`       ...(1)

`= 5x^4 - 20x^3 + 45x^2 - 52x + 11`    ....(1)

(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा हल

y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)

`= x^2 (x^3 + 7x + 9) - 5x (x^3 + 7x + 9) + 8 (x^3 + 7x + 9)`

`= x^5 + 7x^3 + 9x^2 - 5x^4 - 35x^2 - 45x + 8x^3 + 56x + 72`

`= x^5 - 5x^4 + 15x^3 - 26x^2 + 11x + 72`

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`dy/dx = 5x^4 - 20x^3 + 45x^2 - 52x + 11`      ...(2)

(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा हल

माना y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) 

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

log y = log (x² – 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)             ...[∵ log (mn) = log m + log n]

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`1/y dy/dx = 1/(x^2 - 5x + 8) d/dx (x^2 - 5x + 8) + 1/(x^3 + 7x + 9) d/dx (x^3 + 7x + 9)`

`= (2x - 5)/(x^2 - 5x + 8) + (3x^2 + 7)/(x^3 + 7x + 9)`

`= ((2x - 5)(x^3 + 7x + 9) + (3x^2 + 7) (x^2 - 5x + 8))/((x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9))`

`therefore dy/dx = y [(2x (x^3 + 7x + 9) - 5 (x^3 + 7x + 9) + 3x^2 (x^2 - 5x + 8) + 7 (x^2 - 5x + 8))/((x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9))]`

`= (x^2 - 5x + 8) (x^3 + 7x + 9) [(2x^4 + 14x^2 + 18x - 5x^3 - 35x - 45 + 3x^4 - 15x^3 + 24x^2 + 7x^2 - 35x + 56)/((x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9))]`

= 5x⁴ - 20x³ + 45x² - 52x + 11           ...(3)

समीकरण (1), (2) और (3) से स्पष्ट है कि `dy/dx` के मान समान हैं।