Question

यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि- `d/dx` (u. v. w) `= (du)/dx` v. w + u . `(dv)/dx` . w + u . v `(dw)/dx`

Answer 1

(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`"dy"/"dx" = vw  "d"/"dx"  u + u "d"/"dx" (vw)`

`= vw  "du"/"dx" + u [v  "d"/"dx"  w + w "d"/"dx"  v]`

`"du"/"dx"  vw + uv  "dw"/"dx" + uw  "dv"/"dx"`

`= "du"/"dx"  vw + uv  "dw"/"dx" + uw  "dv"/"dx"`

(ii) माना y = uvw

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

log y = log u + log v +log w

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`1/"y" "dy"/"dx" = "u'"/"u" + "v'"/"v" + "w'"/"w" = ("u' vw + uv'w + uvw'")/("uvw")`

`1/"y" "dy"/"dx" = ("u' vw + uv'w + uvw'")/"y"`    [∵ y = uvw]

`"dy"/"dx"` = u' vw + uv'w + uvw'

 `= "du"/"dx"` . v.w + u. w `"dv"/"dx"` + u . v `"dw"/"dx"`

Answer 2

माना y = u.v.w = u. (vw)           .....(i)

(i) दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

(i) `dy/dx = u' .(vw) + u d/dx (vw)`

= u'. (vw) + u [v' w + vw']

= u'. v. w + uv w + uvw'

`= (du)/dx. v. w + u. (dv)/dx . w + u.v. (dw)/dx`

(ii) y = u. v .w

दोनों तरफ लॉग लेने पर, हमें मिलता है,

log y = log u + log v + log w             .....(ii)

दोनों पक्षों (ii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं

`1/y dy/dx = 1/u (du)/dx + 1/v (dv)/dx + 1/w (dw)/dx`

`dy/dx = y (1/u (du)/dx + 1/v (dv)/dx + 1/w (dw)/dx)`

`= uvw (1/u (du)/dx + 1/v (dv)/dx + 1/w (dw)/dx)`

`= vw (du)/dx + uw (dv)/dx + uv (dw)/dx`

`= (du)/dx. v. w + u. (dv)/dx .w + u. v (dw)/dx.`