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Question
प्रश्न में प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`sqrt(((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5)))`
Solution
माना, y = `sqrt(((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5)))` ...(1)
या, y = `[((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5))]^(1/2)`
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
`log y = 1/2 ((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5)) ... [because log m^n = n log m]`
या `log y = 1/2 log (x - 1)(x - 2) - 1/2 log (x - 3)(x - 4)(x - 5) ... [because log m/n = log m - log n]`
`= 1/2 [log (x- 1) + log (x - 2)] - 1/2 [log (x - 3) + log (x - 4) + log (x - 5)] ...[because log m . n = log m + log n]`
दोनों पक्षों का x के साक्षेप करने पर,
`1/ y dy/dx = 1/2 [d/dx log (x - 1) + d/dx log (x - 2)] - 1/2 [d/dx log (x - 3) + d/dx log (x - 4) + d/dx log (x - 5)]`
`= 1/2 y [1/(x - 1) d/dx (x - 1) + 1/(x - 2) d/dx (x - 2)] - 1/2 y [1/(x - 3) d/dx (x - 3) + 1/(x - 4) d/dx (x - 4) + 1/(x - 5) d/dx (x - 5)]`
`= 1/2 y [1/(x - 1) + 1/(x - 2)] - 1/2 y [1/(x - 3) + 1/(x - 4) + 1/(x - 5)]`
`= 1/2 y [1/(x - 1) + 1/(x - 2) - 1/(x - 3) - 1/(x - 4) - 1/(x - 5)]`
समीकरण (1) से y का मान रखने पर,
`dy/dx = 1/2 sqrt(((x - 1)(x - 2))/((x - 3)(x - 4)(x - 5))) [1/(x - 1) + 1/(x - 2) - 1/(x - 3) - 1/(x - 4) - 1/(x - 5)]`
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- गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
- लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
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x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `dy/dx` ज्ञात कीजिए:
x = a `(cos theta + theta sin theta)`, y = a `(sin theta - theta cos theta)`
