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Question
प्रश्न में प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
`(x + 1/x)^x + x^((1 + 1/x))`
Solution 1
माना y = `(1 + 1/x)^x + x^((1 + 1/x))`
पुन: माना y1 = `(1 + 1/x)^x` तथा y2 = `x^(1 + (1/x))`
तब y = y1 + y2 `therefore dy/dx = dy_1/dx + dy_2/dx` .....(1)
अब y1 = `(1 + 1/x)^x`
दोनों ओर का log लेने पर, log y1 = x log `(1 + 1/x)`
दोनों ओर का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`d/dx log y_1 = d/dx [x log (1 + 1/x)]`
या `1/y_1 * dy_1/dx = x * d/dx [log (1 + 1/x)] + log (1 + 1/x) * d/dx (x)`
या `dy_1/dx = y_1 [x * 1/(1 + 1/x) * d/dx (1 + 1/x) + log (1 + 1/x) .1]`
या `dy_1/dx = (1 + 1/x)^x [x^2/((x + 1)) * (- 1/x^2) + log (1 + 1/x)]` (y1 का मान रखने पर)
या `dy_1/dx = (1 + 1/x)^x [- 1/(x + 1) + log (1 + 1/x)]`
पुन: `y_2 = x^(1 + (1/x))`
दोनों ओर का log लेने पर, log y2 = x log `(1 + 1/x) log x`
दोनों ओर का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`d/dx log y_2 = d/dx [(1 + 1/x) log x]`
या `1/y_2 dy_1/dx = (1 + 1/x). d/dx log x + log x . d/dx (1 + 1/x)`
या `dy_1/dx = y_2 [(1 + 1/x). 1/x + log x. (- 1/x^2)]`
या `dy_1/dx = y_2 [1/x + 1/x^2 - 1/x^2 log x]`
या `dy_1/dx = x^(1 + (1/x)) [1/x + 1/x^2 (1 - log x)] ` (y2 का मान रखने पर)
`dy_1/dx " तथा" dy_2/dx` के मान समीकरण (1) में रखने पर,
`dy/dx = (1 + 1/x)^x [- 1/(x + 1) + log (1 + 1/x)] + x^(1+(1/x)) [1/x + 1/x^2 (1 - log x)]`
Solution 2
माना y = `(x + 1/x)^x + x^((1+1/x)) = u +v`
`u = (x + 1/x)^x "और" v= x ^(1+1/x)`
दोनों ओर का x के साक्षेप अवकलन करने पर,
`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx` .....(i)
अब, `u = (x + 1/x)^x`
दोनों ओर का log लेने पर
`= logu - x log (x + 1/x)` ......(ii)
(ii) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`1/u (du)/dx = x d/dx log (x + 1/x) + log (x + 1/x)(1)`
= `x/(x + 1/x) (1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)`
= `(du)/dx = (x + 1/x)^x [x/(x + 1/x)(1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)]` ....(iii)
साथ ही, `v = x^((1 + 1/x))`
दोनों ओर का log लेने पर
`log v = (1 + 1/x) log x` ....(iv)
(iv) का x के संबंध में अवकलन करने पर, हम पाते हैं
`1/v (dv)/dx = (1 + 1/x)d/dx log x + log x d/dx (1 + 1/x)`
= `(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)`
`(dv)/dx = x^(1+1/x) [(1 + 1/x) 1/x + log x ((-1)/x^2)]` ....(v)
(iii) और (v) के मान को (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
`dy/dx = (x + 1/x)^x [x/(x + 1/x) (1 - 1/x^2) + log (x + 1/x)] + x^((1 + 1/x)) [(1 + 1/x) 1/x + log x (-1/x^2)]`
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- गुणनफल नियम का प्रयोग करके
- गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
- लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि- `d/dx` (u. v. w) `= (du)/dx` v. w + u . `(dv)/dx` . w + u . v `(dw)/dx`
x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `dy/dx` ज्ञात कीजिए:
x = a `(cos theta + theta sin theta)`, y = a `(sin theta - theta cos theta)`
