Question

प्रश्न में प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`x^(x cos x) + (x^2 + 1)/(x^2 - 1)`

Answer 1

माना, y = `x^(x cos x) + (x^2 + 1)/(x^2 - 1)`

पुन: माना, y = u + v

दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,

`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx`       ...(1)

अब, u = `x^(x cos x)`

दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,

`log u = log x^(x cos x) = x cos x log x

दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,

`1/u (du)/dx = x cos x d/dx log x + log x d/dx x cos x`

`= x cos x * 1/x + log x [x d/dx cos x + cos x  d/dx (x)]`

= cos x + log x [x (- sin x) + cos x]

= cos x + x (- sin x) · log x + cos x · log x

`therefore (du)/dx =u [cos x log x - x sin x log x + cos x]`

= `x^(x cos x) [cos x log x - x sin x log x + cos x]  `                   ....(2)

पुन: `v = (x^2 + 1)/(x^2 - 1)`

दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,

`(dv)/dx = ((x^2 - 1) d/dx (x^2 + 1) - (x^2 + 1) d/dx(x^2 - 1))/((x^2 - 1)^2)`

`= ((x^2 - 1)(2 x) - (x^2 + 1) (2 x))/((x^2 - 1)^2)`

`= (2 x [x^2 - 1 - x^2 - 1])/((x^2 - 1)^2)`

`= (-4x)/((x^2 - 1)^2)`

समीकरण (2) तथा (3) से  `(du)/dx` तथा `(dv)/dx` के मान समीकरण (1) में रखने पर,

`therefore (dy)/dx = (du)/dx + (dv)/dx` 

`= x^(x cos x) [cos x log x - x sin x log x + cos x] - (4x)/(x^2 - 1)^2`