Question

प्रश्न में प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

x^{sin x} + (sin x)^{cos x}

Answer 1

माना,  x^{sin x} + (sin x)^{cos x}

पुनः माना,  y = u + v

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx`    ...(1)

अब, u = x^{sin x}

दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,

log u = log x^{sin x} = sin x log x

दोनों पक्षों का के साक्षेप अवकलन करने पर,

`1/u (du)/dx = sin x d/dx log x + log x d/dx sin x`

 =` sin x . 1/x + log x * cos x = cos x log x + sin x/x`

`therefore (du)/dx = u (cos x log x + (sin x)/x) = x^(sin x) (cos x log x + (sin x)/x)`          ....(2)

तथा  v = (sin x)^{cos x}

दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,

log v = log (sin x)^{cos x} = cos x log sin x

दोनों पक्षों का के साक्षेप अवकलन करने पर,

`1/v (dv)/dx = cos x  d/dx log sin x + log sin x  d/dx  cos x`

`= cos x * 1/(sin x) d/dx  sin x + log sin x * (- sin x)`

`= cos x * 1/sin x * cos x - sin x log sin x`

`= - sin x log sin x + cot x * cos x`

`therefore (dv)/dx = v [-sin x log sin x + cot x cos x]`

`= (sin x)^(cos x) [-sin x log sin x + cot x cos x]`          ....(3)

समीकरण (2) तथा (3) से `(du)/dx` तथा `(dv)/dx` का मान समीकरण (1) में रखने पर,

`therefore dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx`

`= x^(sin x) (cos x log x + sin x/x) + (sin x)^(cos x)[-sin x log sin x + cot x cos x]`