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प्रश्न
`x ("dy")/("d"x) = "y" (log "y" – log x + 1)` को हल कीजिए।
उत्तर
दिया गया है कि: `x ("dy")/("d"x) = "y"(log "y" – log x + 1)`
⇒ `x ("dy")/("d"x) = "y"[log("y"/x) + 1]`
⇒ `("dy")/("d"x) = "y"/x[log("y"/x) + 1]`
क्योंकि, यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
∴ y = vx रखिए
⇒ `("dy")/("d"x) = "v" + x * "dv"/"dx"`
∴ `"v" + x * "dv"/"dx" = "vx"/x[log("vx"/x) + 1]`
⇒ `"v" + x * "dv"/"dx" = "v"[log "v" + 1]`
⇒ `x * "dv"/"dx" = "v"[log "v" + 1] - "v"`
⇒ `x * "dv"/"dx"` = v ....[log v + 1 – 1]
⇒ `x * "dv"/"dx" = "v" * log "v"`
⇒ `"dv"/("v"log"v") = "dx"/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int "dv"/("v"log"v") = int "dx"/x`
log v = t पर L.H.S. रखिए
`1/"v" "dv"` = dt
∴ `int "dt"/"t" = int "dx"/x`
`log|"t"| = log|x| + log"c"`
⇒ `log|log "v"| = log x"c"`
⇒ log v = xc
⇒ `log("y"/x)` = xc
इसलिए, वाँछित हल `log("y"/x)` = xc है।
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