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प्रश्न
`[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x`
उत्तर
हमारे पास है, `[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x`
हम जानते हैं कि sin x और cos x स्थितियां और अवकलनीय हैं
∴ sin4x और cos4x और इसलिए sin4x + cos4x संतत और अवकलनीय हैं
अब f(0) = 0 + 1 = 1 और `"f"(pi/2)` = 1 + 0 = 1
⇒ f(0) = `"f"(pi/2)`
अतः रोले के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं।
इसलिए, कम से कम एक `"c" ∈ (0, pi/2)` ऐसा मौजूद है कि f'(c) = 0
∴ `4sin^3"c" cos "c" - 4cos^3"c" sin"c"` = 0
⇒ `4sin"c" cos"c" (sin^2"c" - cos^2"c")` = 0
⇒ `4sin"c" cos"c"(-cos 2"c")` = 0
⇒ `-2 sin 2"c" * cos 2"c"` = 0
⇒ sin 4c = 0
⇒ 4c = π
⇒ c = `pi/4 ∈ (0, pi/2)`.
इसलिए, रोले की प्रमेय की पुष्टि हो गई है।
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