Question

Ax² + By² = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।

Answer 1

दिया गया है कि Ax² + By² = 1

विभेदक w.r.t. x, हमें प्राप्त होता है।

${\displaystyle 2\text{A} .x+2\text{By} \frac{\text{dy}}{\text{dx}}}$ = 0

⇒ ${\displaystyle \text{A}x+\text{By} .\frac{\text{dy}}{\text{dx}}}$ = 0

⇒ ${\displaystyle \text{By}.\frac{\text{dy}}{\text{dx}}}$ = – Ax

∴ ${\displaystyle \frac{\text{y}}{x}\cdot \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=-\frac{\text{A}}{\text{B}}}$

पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

${\displaystyle \frac{\text{y}}{x}\cdot \frac{{\text{d}}^2\text{y}}{\text{d}{x}^2}+\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\left(\frac{x\cdot \frac{\text{dy}}{\text{dx}}-\text{y}.1}{x^2}\right)}$ = 0

⇒ ${\displaystyle \frac{\text{y}{x}^2}{x}\cdot \frac{{\text{d}}^2\text{y}}{\text{d}{x}^2}+x\cdot {\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)}^2-\text{y}\cdot \frac{\text{dy}}{\text{dx}}}$ = 0

⇒ ${\displaystyle x\text{y}\cdot \frac{{\text{d}}^2\text{y}}{\text{d}{x}^2}+x\cdot {\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)}^2-\text{y}\cdot \frac{\text{dy}}{\text{dx}}}$ = 0

⇒ ${\displaystyle x\text{y}\cdot \text{y}\text{''}+x\cdot {\left(\text{y}\text{'}\right)}^2-\text{y}\cdot \text{y}\text{'}}$ = 0

इसलिए, वाँछित हल ${\displaystyle xy\cdot \text{y}\text{''}+x\cdot {\left(\text{y}\text{'}\right)}^2-\text{y}\cdot \text{y}\text{'}}$ = 0 है।