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प्रश्न
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया गया है कि: y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)`
मान लीजिए u = `x^tanx` तथा v = `sqrt((x^2 + 1)/2)`
∴ y = u + v
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = "du"/"dx" + "dv"/"dx"` .....(i)
अब u लेना = `x^tanx`
दोनों ओर से log लेना log u = `log(x^tanx)`
log u = tan x . log x
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`1/"u" * "du"/"dx" = "d"/"dx"(tan x * log x)`
⇒ `1/"u" * "du"/"dx" = tan x * "d"/"dx" (log x) + log x * "d"/"dx" (tan x)`
⇒ `1/"u" * "du"/"dx" = tan x * 1/x + log x * sec^2x`
⇒ `"du"/"dx" = "u"[tanx/x + log x * sec^2x]`
∴ `"du"/"dx" = x^tanx [tanx/x + log x sec^2x]`
v लेना = `sqrt((x^2 + 1)/2)`
⇒ v = `1/sqrt(2) sqrt(x^2 + 1)`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"dv"/"dx" = 1/sqrt(2) * 1/(2sqrt(x^2 + 1)) * 2x`
= `x/(sqrt(2)sqrt(x^2 + 1))`
समीकरण (i) में `"du"/"dx"` और `"dv"/"dx"` के मान डालने पर
`"dy"/"dx" = x^tanx [log x sec^2x + tanx/x] + x/(sqrt(2)sqrt(x^2 + 1))`
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