Question

यदि y = ${\displaystyle x^{\tan x}+\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}}$ है, तो ${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{dx}}}$ ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया गया है कि: y = ${\displaystyle x^{\tan x}+\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}}$

मान लीजिए u = ${\displaystyle x^{\tan x}}$ तथा v = ${\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+1}{2}}}$

∴ y = u + v

दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x

${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{\text{du}}{\text{dx}}+\frac{\text{dv}}{\text{dx}}}$   .....(i)

अब u लेना = ${\displaystyle x^{\tan x}}$

दोनों ओर से log लेना log u = ${\displaystyle \log \left(x^{\tan x}\right)}$

log u = tan x . log x

दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x

${\displaystyle \frac{1}{\text{u}}\cdot \frac{\text{du}}{\text{dx}}=\frac{\text{d}}{\text{dx}}(\tan x\cdot \log x)}$

⇒ ${\displaystyle \frac{1}{\text{u}}\cdot \frac{\text{du}}{\text{dx}}=\tan x\cdot \frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(\log x\right)+\log x\cdot \frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(\tan x\right)}$

⇒ ${\displaystyle \frac{1}{\text{u}}\cdot \frac{\text{du}}{\text{dx}}=\tan x\cdot \frac{1}{x}+\log x\cdot {\sec }^{2}x}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\text{du}}{\text{dx}}=\text{u}[\frac{\tan x}{x}+\log x\cdot {\sec }^{2}x]}$

∴ ${\displaystyle \frac{\text{du}}{\text{dx}}=x^{\tan x}[\frac{\tan x}{x}+\log x{\sec }^{2}x]}$

v लेना = ${\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+1}{2}}}$

⇒ v = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x^2+1}}$

दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x

${\displaystyle \frac{\text{dv}}{\text{dx}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}$

= ${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+1}}}$

समीकरण (i) में ${\displaystyle \frac{\text{du}}{\text{dx}}}$ और ${\displaystyle \frac{\text{dv}}{\text{dx}}}$ के मान डालने पर

${\displaystyle \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=x^{\tan x}[\log x{\sec }^{2}x+\frac{\tan x}{x}]+\frac{x}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+1}}}$