Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती] Official 2024-2025 SSC (Marathi Medium) 10th Standard Board Exam [इयत्ता १० वी] Question Paper Solution

खालीलपैकी कोणते पायथागोरसचे त्रिकुट आहे?

(1, 5, 10)

(3, 4, 5)

(2, 2, 2)

(5, 5, 2)

केंद्र O असलेल्या वर्तुळात अंतर्लिखित ∠ACB चे माप 65° आहे. तर त्याने अंतर्खंडित केलेल्या कंस AXB चे माप किती?

65°

230°

295°

130°

(3, 4) या बिंदूचे आरंभ बिंदूपासूनचे अंतर ______ आहे.

7

1

5

−5

जर एका शंकूची त्रिज्या 5 सेमी असून त्याची लंबउंची 12 सेमी असेल तर त्याची तिरकस उंची ______ आहे.

17 सेमी

4 सेमी

13 सेमी

60 सेमी

∆ABC मध्ये, B-D-C आणि BD = 7, BC = 20, तर खालील गुणोत्तर काढा.

`(A(∆ABD))/(A(∆ABC))`

आकृतीमध्ये ∠MNP = 90°, रेख NQ ⊥ रेख MP, MQ = 9, QP = 4 तर NQ काढा. 

एका रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन 30° आहे, तर त्या रेषेचा चढ काढा.

चक्रीय `square`ABCD मध्ये m∠A = 100°, तर m∠C काढा.

P केंद्र असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 10 सेमी आहे. जीवा AB ने वर्तुळकेंद्राशी काटकोन केलेला असल्यास वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. (π = 3.14)

कृती: 

r = 10 सेमी, θ = 90°, π = 3.14

A(P − AXB) = `θ/360 xx square`

= `square/360 xx 3.14 xx 10^2` 

= `1/4 xx square`

A (P − AXB) = `square` चौसेमी

खालील आकृतीमध्ये जीवा MN आणि जीवा RS एकमेकींना बिंदू D मध्ये छेदतात. जर RD = 15, DS = 4, MD = 8, तर DN काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा:

कृती:

∴ MD × DN = `square` × DS   ...(जीवांचे अंतर्छेदनाचे प्रमेय)

∴ `square` × DN = 15 × 4

∴ DN = `square/8`

∴ DN = `square`

एका झाडाच्या बुंध्यापासून 10 मी. अंतरावर असणाऱ्या निरीक्षकास झाडाच्या शेंड्याकडे पाहताना 60° मापाचा उन्नत कोन करावा लागतो. तर झाडाची उंची काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. `(sqrt3 = 1.73)`

कृती:

वरील आकृतीमध्ये, C बिंदूजवळ निरीक्षक असून AB हे झाड आहे. AB = h = झाडाची उंची, निरीक्षकाचे झाडापासूनचे अंतर BC = 10 मी., उन्नत कोन (θ) = ∠BCA = 60°.

आकृतीवरून,

tan θ = `square/("BC")`  ...(I)

tan 60° = `square`  ...(II)

`("AB")/("BC") = sqrt3`  ...((I) व (II) वरून)

AB = BC × `sqrt3` = `10sqrt3`

AB = 10 × 1.73 = `square`

∴ झाडाची उंची `square` मी. आहे.

खालील ΔABC मध्ये DE || बाजू BC. जर DB = 5.4 सेमी, AD = 1.8 सेमी, EC = 7.2 सेमी, तर AE काढा.

खालील आकृतीमध्ये, ΔPSR मध्ये दिलेल्या माहितीवरून RS आणि PS काढा.

दिलेल्या आकृतीत, केंद्र D असलेले वर्तुळ ∠ACB च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर ∠ACB =  52°, तर ∠ADB चे माप काढा. 

खालील बिंदू एकरेषीय आहेत की नाहीत हे ठरवा.

A(1, −3), B(2, −5), C(−4, 7)

जर sinθ = `11/61`, तर नित्यसमानतेचा उपयोग करून cosθ ची किंमत काढा.

खालील आकृतीमध्ये XY || बाजू AC. जर 2AX = 3BX आणि XY = 9, तर AC ची किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:

2AX = 3BX  ...(दिलेले)

∴ `"AX"/"BX" = 3/square`

`("AX" +"BX")/"BX" = (3 + 2)/2`  ...(योग क्रिया करून)

`square/"BX" = 5/2`  ...(I)

आता,

ΔBCA ~ ΔBYX  ...(समरूपतेची `square` कसोटी) 

∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"`  ...(समरूप त्रिकोणाच्या संगत बाजू)

∴ `square/square = "AC"/9` ...[(I) वरून]

∴ AC = `square`

समभुज चौकोनाच्या बाजूंच्या वर्गांची बेरीज त्याच्या कर्णाच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

पक्ष:

`square`PQRS हा समभुज चौकोन असून कर्ण PR आणि SQ एकमेकांना T या बिंदूत छेदतात.

साध्य: PS² + SR² + QR² + PQ² = PR² + QS²

कृती:

समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.

ΔPQS मध्ये रेख PT ही मध्यगा आणि ΔQRS मध्ये रेख RT ही मध्यगा आहे.

∴ अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार

PQ² + PS² = `square` + 2QT²  ...(I)

QR² + SR² = `square` + 2QT²  ...(II)

(I) व (II) यांची बेरीज करू

PQ² + PS² + QR² + SR² = 2(PT² + `square`) + 4QT²

= 2(PT² + `square`) + 4QT²  ...(RT = PT)

= 4PT² + 4QT²

= (`square`)² + (2QT)²

∴ PQ² + PS² + QR² + SR² = PR² + `square`

P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1), S(–1, –5) हे समांतरभुज चौकोनाचे शिरोबिंदू आहेत, हे दाखवा.

खालील प्रमेय सिद्ध करा:

वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.

4.1 सेमी त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा. वर्तुळ केंद्रापासून 7.3 सेमी अंतरावरील बिंदूतून स्पर्शिका काढा.

30 सेमी त्रिज्येचा एक भरीव गोल वितळवून त्यापासून 10 सेमी त्रिज्या व 6 सेमी उंची असणाऱ्या भरीव वृत्तचित्ती तयार केल्या, तर किती वृत्तचित्ती तयार होतील?

खालील आकृतीमध्ये DE || बाजू BC

1. जर DE = 4 सेमी, BC = 8 सेमी, A(ΔADE) = 25 सेमी², तर A(ΔABC) काढा. 
2. जर DE : BC = 3 : 5, तर A(ΔADE) : A(`square`DBCE) काढा.

ΔABC ∼ ΔPQR, ΔABC मध्ये AB = 3.6 सेमी, BC = 4 सेमी आणि AC = 4.2 सेमी आहे. ΔABC आणि ΔPQR यांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर 2 : 3 असेल, तर ΔABC आणि ΔPQR काढा.

शंकूछेदाच्या वर्तुळाकार भागांच्या त्रिज्या 14 सेमी आणि 8 सेमी आहेत. जर शंकूछेदाची उंची 8 सेमी असेल, तर पुढील किंमती काढा. (π = 3.14)

1. शंकूछेदाचे वक्रपृष्ठफळ
2. शंकूछेदाचे एकूण पृष्ठफळ
3. शंकूछेदाचे घनफळ

`square`ABCD हा आयत आहे. AD हा व्यास असलेले व कर्ण BD ला X मध्ये छेदणारे AXD हे अर्धवर्तुळ आहे. जर AB = 12 सेमी, AD = 9 सेमी, तर BD आणि BX च्या किंमती काढा.

θ = 30° घेऊन खालील त्रिकोणमितीय नित्यसमानतेचा पडताळा घ्या:

sin²θ + cos²θ = 1

θ = 30° घेऊन खालील त्रिकोणमितीय नित्यसमानतेचा पडताळा घ्या:

1 + tan²θ = sec²θ

θ = 30° घेऊन खालील त्रिकोणमितीय नित्यसमानतेचा पडताळा घ्या:

1 + cot²θ = cosec²θ