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Question
यदि वक्र x = y2 एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Solution
वक्र x = y2 एक परवलय है, जिसका शीर्ष मूल बिंदु है। y = 0 इसका अक्ष है। जिसके सापेक्ष परवलय सममित हैं तथा x = 4 एक सरल रेखा है जो ‘-अक्ष से 4 इकाई दूरी पर है।
अंत अभीष्ट क्षेत्रफल `= 2int_0^4 "y dx"`
`= 2 int_0^4 sqrt x "dx"`
`= 2 [(2x^(3/2))/3]_0^4`
`= 4/3 [4^(3//2)]`
`= 8 xx 4/3 = 22/3` वर्ग इकाई .....(i)
क्षेत्र ORS का क्षेत्रफल `2 int_0^a sqrtx dx`
`= 2 xx 2/3 [x^(3//2)]_0^a`
`= 4/3 a^(3//2)` ....(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
OQP का क्षेत्रफल = 2 × ORS का क्षेत्रफल
`32/3 = 2 xx 4/3 a^(3//2)`
`32 = 8a^(3//2)`
`=> a^(3//2) = 32/8 = 4`
`a^(3//2) = 4`
`=> a = 4^(2//3)` इकाई
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