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Question
परवलय 4y = 3x2 एवं रेखा 2y = 3x + 12 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution
परवलय तथा रेखा के समीकरण
4y = 3x2 …(1)
2y = 3x + 12 …(2)
2y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
2(3x + 12) = 3x2
⇒ 6x + 24 = 3x2
⇒ 3x2 – 6x – 24 = 0
⇒ x2 – 2x – 8 = 0
⇒ x2 – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x (x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
∴ x = 4, -2
⇒ y = 12, 3
इस प्रकार परवलय तथा रेखा एक-दूसरे को P(-2, 3) तथा Q(4, 12) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।
वक्र 4y = 3x2 तथा रेखा 2y = 3x + 12 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQ का क्षेत्रफल
= समलम्ब चतुर्भुज PLMQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र PLOMQOP
`= int_(-2)^4 "y"_1 "dx" - int_(-2)^4 "y"_2 "dx"`
जब y1, रेखा 2y = 3x + 12, y2 ; परवलय के 4y = 3x2 के
लिए
`= 1/3int_(-2)^4 (3x + 12) "dx" - 3/4 int_(-2)^4 x^2 "dx"`
`= 1/2 ["3x"^2/2 + 12x]_(-2)^4 - 3/4 [x^3/3]_(-2)^4`
`= 1/2 [(24 + 48) - (6 - 24)] - 3/4 [64/3 + 8/3]`
`= 1/2 [72 + 18] - 3/4 * 72/3`
`= 90/2 - 18`
= 45 - 18
= 27 वर्ग इकाई
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