Advertisements
Advertisements
Question
y-अक्ष, y = cosx एवं y = sin x, 0 ≤ x ≤ `pi/2` घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
Options
`2(sqrt2 - 1)`
`sqrt2 - 1`
`sqrt2 + 1`
`sqrt2`
Solution
`sqrt2 - 1`
स्पष्टीकरण-
समीकरण y = cos x तथा y = sin x में y का मान समान रखने पर,
cosx = sin x .
∴ tan x = 1 या x = `π/4`
जब x = `pi/4` sin x = cos x = `1/sqrt2`
y-अक्ष, y = cos x, y = sin x
0 ≤ x ≤ `pi/2` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
A = क्षेत्र OPB का
= क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल + क्षेत्र APB का क्षेत्रफल
`= int_0^(1//sqrt2) x_1 " dy" + int_(1//sqrt2)^1 x_2 " dy"`
x1 वक्र y = sin x तथा x2 वक्र y = cos x के लिए प्रयुक्त किया गया है।
`= int_0^(1//sqrt2) sin^-1 "y dy" + int_(1//sqrt2)^1 cos^-1 "y dy"`
दोनों समाकलनों का खण्डशः समाकलन करने पर,
A = `[(sin^-1 "y")"y"]_0^(1//sqrt2)`
`= - 1/2 int_0^(1//sqrt2) "2y"/sqrt(1 - "y"^2) "dy" + [(cos^-1 "y")"y"]_(1//sqrt2)^1 + int_(1//sqrt2)^1 1/sqrt(1 - "y"^2) "y dy"`
`= ["y" sin^-1 "y" + sqrt(1 - "y"^2)]_0^(1//sqrt2) + ["y" cos^-1 "y"sqrt(1 - "y"^2)]_(1//sqrt2)^1`
`= [1/sqrt2 sin^-1 1/sqrt2 + sqrt(1/2) - 1] + [(cos^-1 1 - 0) - (1/sqrt2 cos^-1 1/sqrt2 - 1/sqrt2)]`
`= (1/sqrt2 * pi/4 + 1/sqrt2 - 1) + (0 - 1/sqrt2 * pi/4 + 1/sqrt2)`
`= 2xx1/sqrt2 - 1`
`= sqrt2 - 1` वर्ग इकाई
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
प्रथम चतुर्थांश में वक्र y2 = 9x, x = 2, x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रथम चतुर्थांश में x2 = 4y, y = 2, y = 4 एवं y-अंक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दीर्घवृत्त `x^2/16 + y^2/9 = 1` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दीर्घवृत्त `x^2/4 + y^2/9 = 1` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
यदि वक्र x = y2 एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
परवलय y = x2 एवं y = |x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र x2 = 4y एवं रेखा x = 4y - 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = 4x एवं रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दिए हुए वक्र एवं रेखा से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
y = x4; x = 1, x = 5 एवं x-अक्ष
x = 0 एवं x = 2π तथा वक्र y = sin x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
परवलय y = 4ax एवं रेखा y = mx से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
परवलय 4y = 3x2 एवं रेखा 2y = 3x + 12 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दीर्घवृत्त `x^2/9 + "y"^2/4 = 1` एवं रेखा `x/3 + "y"/2 = 1` से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दीर्घवृत्त `x^2/"a"^2 + "y"^2/"b"^2 = 1` एवं रेखा `x/"a" + "y"/"b" = 1` से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
परवलय x2 = y, रेखा y = x + 2 एवं x अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्रों {(x, y) : y ≥ x2 तथा y = |x|} से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
क्षेत्र {(x, y): y2 ≤ 4x, 4x2 + 4y2 ≤ 9} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र y = x3, x-अक्ष एवं कोटियों x = -2, x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
क्षेत्र y2 ≥ 6x और वृत्त x2 + y = 16 में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
वक्र y = x|x|, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
