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Question
क्षेत्र y2 ≥ 6x और वृत्त x2 + y = 16 में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
Options
`4/3 (4pi - sqrt3)`
`4/3 (4pi + sqrt3)`
`4/3 (8pi - sqrt3)`
`4/3 (8pi + sqrt3)`
Solution
`4/3 (8pi - sqrt3)`
स्पष्टीकरण-
दिए हुए वक्रों के समीकरण
x2 + y = 16 …(1)
y2 = 6x …(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
x2 = 16 – 6x
⇒ x2 + 6x – 16 = 0
(∴ x + 8) (x – 2) = 0; x = -8, 2
जब x = 2, y2 = 6 × 2 = 12
∴ y = ± `2sqrt3`
दोनों वक्र एक-दूसरे को `(2, 2sqrt3), (2, -2sqrt3)` पर प्रतिच्छेदन करते हैं। वृ
त्त x2 + y2 = 16 का क्षेत्रफल
`= 4 int_0^4 sqrt(16 - x^2)`
dx = `4[(x sqrt(16 - x^2))/2 + 16/2 sin^-1 x/4]_0^4`
`= 4[(0 + 8 sin^-1 1) - (0)]`
`= 32 xx pi/2`
= 16 π वर्ग इकाई
यहाँ पर y2 > 6x, परवलय से बाहर का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
परवलय एवं वृत्त के अन्दर का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQAP का क्षेत्रफल
= 2 [क्षेत्र POMA का क्षेत्रफल]
= 2 [क्षेत्र POM का क्षेत्रफल + क्षेत्र PMA का क्षेत्रफल]
`= 2[int_0^2 sqrt(6x) " dx" + int_2^4 sqrt(16 - x^2) " dx"]`
= `2[sqrt6 * 2/3 [x^(3//2)]_0^2 + [x/2 sqrt(16 - x^2) + 16/2 sin^-1 x/4]_2^4}`
`= 2{2/3 sqrt6 (2^(3//2) - 0) + [(0 + 8 sin^-1 1) - (sqrt12 + 8 sin^-1 1/2)]}`
`= 4/3 sqrt6 * sqrt8 + 2 (8 xx pi/2 - sqrt12 - 8 pi/6)`
`= 16/3 sqrt3 + 8pi - 2sqrt12 - 8/3 pi`
`= ((16sqrt3)/3 - 4sqrt3) + 16/3 pi`
`= (4sqrt3)/3 + 16/3 pi`
अभीष्ट क्षेत्रफल = परवलय से बाहर तथा वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल
= वृत्त का क्षेत्रफल - क्षेत्र POQAP का क्षेत्रफल
`= 16pi - ((4sqrt3)/3 + 16/3 pi)`
`= 32/3 pi - (4 sqrt3)/3`
`= 4/3 (8pi - sqrt3)`
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