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Question
परवलय x2 = y, रेखा y = x + 2 एवं x अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution
परवलय x2 = y, शीर्ष (0, 0) के साथ y-अक्ष की धनात्मक दिशा की तरफ और ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को निरूपित करता है तथा y = x + 2 एक सरल रेखा को निरूपित करता है जो कि x-अक्ष को (-2, 0) पर काटता है।
अब x2 = x + 2
⇒ x2 – x – 2 = 0
⇒ x2 – 2x + x – 2 = 0
⇒ x(x – 2) + 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x + 1) = 0
∴ x = 2, -1
जब : x = 2, y = (2)2 = 4
जब x = -1, y = (-1)2 = 1
∴ दो वक्र x = y और y = x + 2 बिन्दु (2, 4) और (-1, 1) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = चित्र में दिखाया गया छायांकित क्षेत्र
`= int_(-1)^2 (x + 2 - x^2) "dx"`
`= [x^2/2 + 2x - x^3/3]_(-1)^2`
`= 1/2 (4 - 1) + 2(2 + 1) - 1/3 (8 + 1)`
`= 3/2 + 6 - 3`
`= 3/2 + 3`
`= 9/2` वर्ग इकाई
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