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Question
वक्रों {(x, y) : y ≥ x2 तथा y = |x|} से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution
वक्र x2 = y एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है। रेखा OY सममित है।
समीकरण y = |x| दो रेखाओं को निरूपित करता है।
जब x > 0, y = x; जब x < 0, y = -x
y = x, x2 = y को (0, 0), (1, 1) पर काटती है।
y = -x, x2 = y को (0, 0), (-1, 1) पर काटती है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × क्षेत्र OPQ का क्षेत्रफल
= 2 [∆OLQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र OLOPO का क्षेत्रफल]
`= [int_0^1 "y"_1 "dx" - int_0^1 "y"_2 "dx"]`
[जहाँ y1 रेखा y = x तथा y2 वक्र x2 = y के लिए प्रयुक्त किए गए हैं।
`= 2[int_0^1 x " dx" - int_0^1 x^2 "dx"]`
`= 2[{x^2/2}_0^1 - {x^3/3}_0^1]`
`= 2(1/2 - 1/3)`
`= 2 xx 1/6`
`= 1/3` वर्ग इकाई
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