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Question
क्षेत्र {(x, y): y2 ≤ 4x, 4x2 + 4y2 ≤ 9} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution
y2 = 4x परवलय है जिसमें शीर्ष (0, 0) तथा x-अक्ष है।
4x2 + 4y2 = 9 एक वृत्त को निरूपित करता है।
केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या = `3/2` है।
y2 = 4x और x2 + y2 = `9/4` को हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु `"P"(1/2, sqrt2)` और `"Q"(1/2, - sqrt2)` है। दोनों ही वक्र x-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 2 (क्षेत्र OAPO का क्षेत्रफल)
= 2 [(क्षेत्र OMPO का क्षेत्रफल) + (क्षेत्र MAPM का क्षेत्रफल)]
`= 2(int_0^(1//2) 2sqrtx " dx" + int_(1//2)^(3//2) sqrt(9/4 - x^2) " dx")`
`= 4[x^(3//2)/(3//2)]_0^(1//2) + 2[(xsqrt(9/4 - x^2))/2 + 1/2 * 9/4 sin^-1 (x/(3//2))]_(1//2)^(3//2)`
`= 8/3 (1/(2sqrt2) - 0) + [x sqrt(9/4 - x^2)+ 9/4 sin^-1 ((2x)/3)]_(1//2)^(3//2)`
`= (2sqrt2)/3 + 0 + 9/4 sin^-1 (1) - [1/2 sqrt2 + 9/4 sin^-1 (1/3)]`
`= (2sqrt2)/3 - sqrt2/2 + 9/4 * pi/2 - 9/4 sin^-1 (1/3)`
`= [sqrt2/6 + (9pi)/8 - 9/4 sin^-1 (1/3)]` वर्ग इकाई
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