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Question
दीर्घवृत्त `x^2/"a"^2 + "y"^2/"b"^2 = 1` एवं रेखा `x/"a" + "y"/"b" = 1` से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution
दिया है :
`x^2/"a"^2 + "y"^2/"b"^2 = 1` ...(i)
तथा `x/"a" + "y"/"b" = 1` ...(ii)
अभीष्ट क्षेत्रफल
`= int_0^"a" "y dx" ("दीर्घवृत्त") - int_0^"a" "y dx"`(रेखा)
`= int_0^"a" "b"/"a" sqrt("a"^2 - "x"^2) "dx" - int_0^"a" ("b"("a - x"))/"a" "dx"`
`= "b"/"a" [(x sqrt("a"^2 - x^2))/2 + "a"^2/2 sin^-1 x/"a"]_0^"a" - "b"/"a" ["ax" - x^2/2]_0^"a"`
`= "ab"/2(sin^-1 (1) - sin^-1 0) - ("ab" - "ab"/2)`
`= ("ab"/2 xx pi/2) - ("ab"/2)`
`= "ab"/2 [pi/2 - 1]`
`= "ab"/4(pi - 2)` वर्ग इकाई
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