Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - ज्यामिति] Official 2024-2025 SSC (Hindi Medium) 10th Standard Board Exam [१० वीं कक्षा] Question Paper Solution

निम्नलिखित में से कौन-सा पायथागोरस का त्रिक् है?

(1, 5, 10)

(3, 4, 5)

(2, 2, 2)

(5, 5, 2)

‘O’ केंद्र वाले वृत्त में अंतर्लिखित ∠ACB का माप 65° है, तो उसके द्वारा अंतःखंडित चाप AXB का माप कितना?

65°

230°

295°

130°

(3, 4) इस बिंदु की आरंभ बिंदु से दूरी ______ है।

7 

1 

5 

−5 

किसी शंकु की त्रिज्या 5 सेमी तथा उसकी लंब ऊँचाई 12 सेमी हो, तो उसकी तिरछी ऊँचाई ______ होगी।

17 सेमी

4 सेमी

13 सेमी

60 सेमी

ΔABC में B – D – C और BD = 7, BC = 20, तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए।

`(A(∆ABD))/(A(∆ABC))`

आकृति में ∠MNP = 90°, रेख NQ ⊥ रेख MP, MQ = 9, QP = 4, तो NQ का मान ज्ञात कीजिए।

किसी रेखा द्वारा X-अक्ष की धनात्मक दिशा की ओर निर्मित कोण का मान 30° है, तो उस रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में m∠A = 100, तो m∠C ज्ञात कीजिए।

‘P’ केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। जीवा AB द्वारा वृत्त केंद्र पर समकोण बनाया गया हो, तो द्वैत्रिज्य का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए। (π = 3.14)

कृति:

r = 10 सेमी, θ = 90°, π = 3.14

A(P − AXB) = `θ/360 xx square`

= `square/360 xx 3.14 xx 10^2` 

= `1/4 xx square`

A (P − AXB) = `square` वर्ग सेमी

नीचे दी गई आकृति में जीवा MN और जीवा RS एक-दूसरे को बिंदु D में प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि RD = 15, DS = 4, MD = 8, तो DN ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए:

कृति:

∴ MD × DN = `square` × DS  ...(जीवाओं के अंत:छेदन प्रमेय से)

∴ `square` × DN = 15 × 4

∴ DN = `square/8`

∴ DN = `square`

किसी पेड़ के तने से 10 मी. की दूरी पर खड़ा निरीक्षक पेड़ की चोटी की ओर देखता है तब 60° माप का उन्नत कोण बनता है। तो उस पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए। `(sqrt3 = 1.73)`

कृति:

ऊपर दी गई आकृति में, बिंदु C के पास निरीक्षक है और AB पेड़ है। AB = h = पेड़ की ऊँचाई, निरीक्षक की पेड़ से दूरी BC = 10 मी.

उन्नत कोण (θ) = BCA= 60°

tan θ = `square/("BC")`  ...(I)

tan 60° = `square`  ...(II)

`("AB")/("BC") = sqrt3`  ...((I) तथा (II) से)

AB = BC × `sqrt3` = `10sqrt3`

AB = 10 × 1.73 = `square`

∴ पेड़ की ऊँचाई `square` मी. है।

ΔABC में, DE || भुजा BC। यदि DB = 5.4 सेमी, AD = 1.8 सेमी, EC = 7.2 सेमी, तो AE का मान ज्ञात कीजिए।

नीचे दी गई आकृति में, ΔPSR में दी गई जानकारी से RS और PS ज्ञात कीजिए।

नीचे दी गई आकृति में, D केंद्र वाला वृत्त ∠ACB की भुजाओं को बिंदु A और B में स्पर्श करता है। यदि ∠ACB = 52°, तो ∠ADB का माप ज्ञात कीजिए।

नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए।

A(1, −3), B(2, −5), C(−4, 7)

यदि sinθ = `11/61`, तो सर्वसमिका का उपयोग करके cosθ का मान ज्ञात कीजिए।

नीचे दी गई आकृति में, रेख XY || भुजा AC। यदि 2AX = 3BX और XY = 9, तो AC का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:

2AX = 3BX ...(दत्त)

∴ `"AX"/"BX" = 3/square`

`("AX + BX")/"BX" = (3 + 2)/2`  ...(योगानुपात की क्रिया से)

`square/"BX" = 5/2` ...(I)

ΔBCA ~ ΔBYX  ...(समरूपता की `square` कसौटी)

∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"`  ...(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)

∴ `square/square = "AC"/9` ...[(I) से]

∴ AC = `square`

समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योगफल उसके विकणों के वर्गों के योगफल के बराबर होता है, यह सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।

दत्त:

`square`PQRS एक समचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण PR और विकर्ण SQ परस्पर बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करते हैं।

साध्य: PS² + SR² + QR² + PQ² = PR² + QS²

कृति:

समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को सम‌द्विभाजित करते हैं।

ΔPQS में, PT माध्यिका है तथा ΔQRS में, RT माध्यिका है।

∴ अपोलोनियस के प्रमेयानुसार,

PQ² + PS² = `square` + 2QT²  ...(I)

QR² + SR² = `square` + 2QT² ...(II)

(I) तथा (II) को जोड़ने पर,

PQ² + PS² + QR² + SR² = 2(PT² + `square`) + 4QT²

= 2(PT² + `square`) + 4QT² ...(RT = PT)

= 4PT² + 4QT²

= (`square`)² + (2QT)²

∴ PQ² + PS² + QR² + SR² = PR² + `square`

सिद्ध कीजिए कि, बिंदु P(1, −2), Q(5, 2), R(3, −1) और S(−1, −5) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु हैं।

सिद्ध कीजिए कि, “वृत्त के बाह्य भाग में स्थित बिंदु से उस वृत्त पर खींचे गए स्पर्श रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं।”

4.1 सेमी त्रिज्यावाला एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केंद्र से 7.3 सेमी दूर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखा खींचिए।

30 सेमी त्रिज्या के एक ठोस गोले को पिघलाकर उससे 10 सेमी त्रिज्यावाले तथा 6 सेमी ऊँचाई वाले ठोस वृत्ताकार बेलन बनाए गए तो उससे बने वृत्ताकार बेलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

नीचे दी गई आकृति में DE || भुजा BC

1. यदि DE = 4 सेमी, BC = 8 सेमी, A(ΔADE) = 25 सेमी², तो A(ΔABC) ज्ञात कीजिए।
2. यदि DE : BC = 3 : 5, तो A(ΔADE) : A(`square`DBCE) ज्ञात कीजिए।

ΔABC ∼ ΔPQR, ΔABC में AB = 3.6 सेमी, BC = 4 सेमी और AC = 4.2 सेमी है। ΔABC और ΔPQR की संगत भुजाओं का अनुपात 2 : 3 हो, तो ΔABC और ΔPQR की रचना कीजिए।

शंकु छेद के वृत्ताकार भाग की त्रिज्या क्रमशः 14 सेमी तथा 8 सेमी है। यदि शंकु छेद की ऊँचाई 8 सेमी हो, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए: (π = 3.14)

1. शंकु छेद का वक्रपृष्ठफल
2. शंकु छेद का संपूर्ण पृष्ठफल
3. शंकु छेद का घनफल

`square`ABCD एक आयत है। रेख AD को व्यास मानकर विकर्ण BD को बिंदु X में प्रतिच्छेदित करने वाला एक अर्धवृत्त AXD बनाया गया। यदि AB = 12 सेमी, AD = 9 सेमी, तो BD और BX के मान ज्ञात कीजिए।

θ = 30° लेकर निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका की जाँच कीजिए:

sin²θ + cos²θ = 1

θ = 30° लेकर निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका की जाँच कीजिए:

1 + tan²θ = sec²θ

θ = 30° लेकर निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका की जाँच कीजिए:

1 + cot²θ = cosec²θ