Question

निम्नलिखित के मान निकालिए-

${\displaystyle \int \frac{x^2}{1-x^4}\text{d}x}$  [x² = t रखिए]

Answer 1

मान लीजिए I = ${\displaystyle \int \frac{x^2}{1-x^4}\text{d}x}$

= ${\displaystyle \int \frac{x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}\text{d}x}$

आंशिक भिन्नों के प्रयोजन के लिए x² = रखें।

हमें ${\displaystyle \frac{\text{t}}{(1-\text{t})(1+\text{t})}}$ मिलता है

आंशिक भिन्नों में हल करना हम डालते हैं

${\displaystyle \frac{\text{t}}{(1-\text{t})(1+\text{t})}=\frac{\text{A}}{1-\text{t}}+\frac{\text{B}}{1+\text{t}}}$  .....[जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं]

⇒ ${\displaystyle \frac{\text{t}}{(1-\text{t})(1+\text{t})}=\frac{\text{A}(1+\text{t})+\text{B}(1-\text{t})}{(1-\text{t})(1+\text{t})}}$

⇒ t = A + At + B – Bt

समान पदों की तुलना करने पर, हमें A – B = 1 और A + B = 0 प्राप्त होता है

उपरोक्त समीकरणों को हल करना

हम A = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ और B = ${\displaystyle -\frac{1}{2}}$

∴ I = ${\displaystyle \int \frac{\frac{1}{2}}{1-x^2}\text{d}x+\int \frac{\frac{-1}{2}}{1+x^2}\text{d}x}$  ...(t = x² लाना)

= ${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot 1}\log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x+\text{C}}$

= ${\displaystyle \frac{1}{4}\log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x+\prime C}$

अत:, I = ${\displaystyle \frac{1}{4}\log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x+\text{C}}$.