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प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2 y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`
उत्तर
दिया गया समीकरण है
`dy/dx + 2y tan x = sin x`
जो कि इस प्रकार का एक रैखिक समीकरण है।
`dy/dx + Py = Q`
अतः, P = 2 tan x और Q = sin x
∴ `int Pdx = int 2 tan x dx = 2 log |sec x| = log sec^2 x`
∴ `I.F. = e^(int Pdx) = e^(log sec^2x) = sec^2 x`
∴ समाधान 'y' है, `(I.F.) = int Q. (I.F.) dx + C`
⇒ `y sec^2 x = int sin x sec^2 x dx + C`
`= int sec x tan x dx + C`
⇒ `y sec^2x = sec x + C`
जब `x = pi/3, y = 0; "तो" 0 = sec pi/3 + C`
⇒ C = -2
y sec2 x = sec x - 2 (1) में रखने पर,
⇒ y = cos x - 2 cos2x,
जो आवश्यक समाधान है।
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