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Question
अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx को हल कीजिए, दिया है कि x = `pi/2` तब y = 2 है।
Solution
दिया गया अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx है।
⇒ `"dy"/"dx"` = cosx(2 – y cosec x)
⇒ `"dy"/"dx"` = 2cosx – ycosx . cosecx
⇒ `"dy"/"dx"` = 2cosx – ycotx
⇒ `"dy"/"dx" + "y" cot "x"` = 2cosx
यहाँ, P = cotx और Q = 2cosx
∴ समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int"Pdx")`
= `"e"^(int cot x"d"x)`
= `"e"^(log sinx)`
= sin x
∴ वाँछित हल `"y" xx "I"."F" = int "Q" xx "I"."F". "d"x + "c"` है।
⇒ `"y" . sin x = int 2 cos x . sin x "d"x + "c"`
⇒ `"y" . sin x = int sin 2x "d"x + "c"`
⇒ `"y" . sin x = - 1/2 cos 2x + "c"`
x = `pi/2` तथा y = 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है
`2 sin pi/2 = - 1/2 cos pi + "c"`
⇒ 2(1) = `- 1/2 (-1) + "c"`
⇒ 2 = `1/2 + "c"`
⇒ c = `2 - 1/2 = 3/2`
∴ समीकरण y sin x = `- 1/2 cos 2x + 3/2` है।
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