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Question
अवकल समीकरण `(x^2 - 1) "dy"/"dx" + 2x"y" = 1/(x^2 - 1)` को हल कीजिए।
Solution
दिया गया अवकल समीकरण `(x^2 - 1) "dy"/"dx" + 2x"y" = 1/(x^2 - 1)` है।
(x2 – 1) से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है।
`"dy"/"dx" + "xy"/(x^2 - 1) = 1/(x^2 - 1)`
यह प्रथम कोटि और प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।
∴ P = `(2x)/(x^2 - 1)` और Q = `1/(x^2 - 1)^2`
समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int Pdx)`
= `"e"^(int (2x)/(x^2 - 1) "d"x`
= `"e"^(log(x^2 - 1)`
= `(x^2 - 1)`
∴ समीकरण का हल `"y" xx "I"."F". = int "Q" . "I"."F". "d"x + "C"` है।
⇒ `"y" xx (x^2 - 1) = int 1/(x^2 - 1)^2 xx (x^2 - 1) "d"x + "C"`
⇒ `"y" xx (x^2 - 1) = int 1/(x^2 - 1) "d"x + "C"`
⇒ `"y"(x^2 - 1) = 1/2 log|(x - 1)/(x + 1)| + "C"`.
इसलिए वाँछित हल `"y"(x^2 - 1) = 1/2 log|(x - 1)/(x + 1)| + "C"` है।
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