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Question
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कौजिए जिसका किसी बिंदु P(x, y) से वक्र के अभिलंब की मूल बिंदु से लंबवत दूरी P से x-अक्ष की दूरी के बराबर है।
Solution
माना P(x, y) से अभिलंब का समीकरण Y – y = `(-"dx")/"dy" ("X" - x)`
अर्थात् `"Y" + "X" "dx"/"dy" - (y + x "dx"/"dy")` = 0 .....(1)
इसलिए मूल बिंदु से (1) की लंबवत् दूरी
`(y + x "dx"/"dy")/sqrt(1 + ("dx"/"dy")^2)` .....(2)
साथ ही P की x-अक्ष से दूरी |y| है।
अत: `(y + x "dx"/"dy")/sqrt(1 + ("dx"/"dy")^2) = |y|`
⇒ `(y + x "dx"/"dy")^2 = y^2 [1 + ("dx"/"dy")^2]`
⇒ `"dx"/"dy" ["dx"/"dy" (x^2 - y^2) + 2xy]` = 0
⇒ `"dx"/"dy"` = 0
या `"dx"/"dy" = (2xy)/(y^2 - x^2)`
स्थिति I: `"dx"/"dy" = 0
⇒ dx = 0
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें x = k प्राप्त होता है।
x = 1 रखने पर k = 1 प्राप्त होता है।
इसलिए वक्र का समीकरण x = 1 है। .....(यह संभव नहीं है इसलिए इसको अस्वीकार करते हैं)
स्थिति II: `"dx"/"dy" = (2xy)/(y^2 - x^2)`
⇒ `"dy"/"dx" = (y^2 - x^2)/(2xy)`.
अब y = vx, रखने पर हम प्राप्त करते हैं
`"v" + x "dv"/"dx" = ("v"^2x^2 - x^2)/(2"v"x^2)`
⇒ `x * "dv"/"dx" = ("v"^2 - 1)/(2"v")`
= `(-(1 + "v"^2))/(2"v")`
⇒ `(2"v")/(1 + "v"^2) "dv" = (-"dv")/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं कि
log(1 + v2) = – logx + logc
⇒ log(1 + v2)(x) = log c
⇒ (1 + v2) x = c
⇒ x2 + y2 = cx.
अब x = 1 तथा
y = 1 रखने पर c = 2 प्राप्त होता है।
इसलिए, x2 + y2 – 2x = 0 वाँछित समीकरण है।
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