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Question
स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए:
| स्तंभ A | स्तंभ B |
| (a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है | (i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या |
| (b) `i^(-1097)` का मान है | (ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या |
| (c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है | (iii) द्वितीय चतुर्थांश |
| (d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है | (iv) चौथा चतुर्थांश |
| (e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं | (v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं |
| (f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं | (vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं |
Solution
| स्तंभ A | उत्तर |
| (a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है | (ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या |
| (b) `i^(-1097)` का मान है | (i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या |
| (c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है | (iv) चौथा चतुर्थांश |
| (d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है | (iii) द्वितीय चतुर्थांश |
| (e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं | (vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं |
| (f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं | (v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं |
स्पष्टीकरण:
(a) क्योंकि 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20
= 1 – 1 + 1 – 1 + ... + 1 = 1 (जो शुद्धत: एक वास्तविक सम्मिश्र संख्या है)
(b) क्योंकि `i^(-1097) = 1/((i)^1097) = 1/(i^(4 xx 274 + 1)`
= `1/((i^4)^274i) = 1/i = i/i^2 = – i`, जो शुद्धत: एक काल्पनिक सम्मिश्र संख्या है।
(c) 1 + i का संयुग्मी 1 - i है, जो बिंदु (1, -1) से निरूपित किया जाता है और यह चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
(d) क्योंकि `(1 + 2i)/(1 - i) = (1 + 2i)/(1 - i) xx (1 + i)/(1 + i)`
= `(-1 + 3i)/2` = `-1/2 + 3/2 i`, जिसे द्वितीय चतुर्थांश में बिंदु `(-1/2, 3/2)` से निरूपित किया जाता है।
(e) यदि b2 - 4ac < 0 तो = D < 0 अर्थात् D का वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या है। अतः मूल `x = (-b ± "काल्पनिक संख्या")/(2a)` है, अर्थात् मूल संयुग्मी युग्मों में हैं।
(f) समीकरण `x^2 - (5 + sqrt2)x + 5sqrt2 = 0` पर विचार कीजिए, जहाँ a = 1, `b = -(5 + sqrt2), c = 5sqrt2` स्पष्टतः a, b, c ∈ R
अब D = `b^2 - 4ac = {-(5 + sqrt2)}^2 - 4.1.5sqrt2 = (5 - sqrt2)^2`
अतः `x = (5 + sqrt2 ± (5 - sqrt2))/2 = 5, sqrt2` जिससे संयुग्मी युग्म नहीं बनता है।
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