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प्रश्न
यदि acos2θ + bsin2θ = c के मूल α और β हैं, तो सिद्ध कीजिए कि tanα + tanβ = `(2b)/(a + c)` है।
`["संकेत: सर्वसमिकाओं" cos2theta = (1 - tan^2theta)/(1 + tan^2theta) "और" sin2theta = (2tantheta)/(1 + tan^2theta) "का प्रयोग कीजिए।"]`
उत्तर
ज्ञात है कि, acos2θ + bsin2θ = c
सिद्ध करें कि, `tanα + tanβ = (2b)/(a+c)`
चूंकी, cos2θ = `(1−tan^2θ)/(1+tan^2θ)` और `sin2θ = (2tan^2θ)/(1+tan^2θ)`
अतः,
`a[(1 -tan^2theta)/(1 + tan^2theta)] + b[(2tantheta)/(1 + tan^2theta)] = c`
⇒ `a - atan^2theta + 2b tantheta = c(1 + tan^2theta)`
⇒ `a - atan^2theta + 2b tantheta - c - ctan^2theta = 0`
⇒ `-(a + c)tan^2theta + 2btantheta + (a - c) = 0`
ज्ञात है कि, α और β इस समीकरण का आधार हैं।
`tanalpha + tanbeta = (-(-2b))/(a + c)`
⇒ `tanalpha + tanbeta = (2b)/(a + c)`
यह सिद्ध है कि `tanα + tanβ = (2b)/(a + c)`
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