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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(5x)^(3 cos 2x)`
उत्तर १
माना y = `(5x)^(3 cos 2x)`
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log y = 3 cos 2x log 5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/y dy/dx = 3[cos 2x d/dx log 5x + log 5x d/dx cos 2x]`
`= 3[cos 2x * 1/(5x) d/dx (5x) + log 5x * (- sin 2x) d/dx (2x)]`
`= 3[cos 2x * 1/(5x) * 5 - 2 sin 2x log 5x]`
`= 3 [(cos 2x)/x - 2 sin 2x log 5x]`
`dy/dx = 3y [(cos 2x)/x - 2 sin 2x log 5x]`
`= 3 (5x)^(3 cos 2x) [(cos 2x)/x - 2 sin 2x log x]`
उत्तर २
माना, y = `(5x)^(3cos 2x)`
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log y = 3 cos 2x log (5x) = 3 cos 2x [log 5 + log x]
log y = 3 cos 2x log 5 + 3 cos 2x log x ....(1)
(1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं,
`1/y dy/dx = 3 log 5 (-sin 2x)* 2 + (3 cos 2x)/x + 3 log x (-2 sin 2x)`
`= - 6 log 5 sin 2x + (3 cos 2x)/x - 6 log x sin 2x`
`dy/dx = (5x)^(3cos 2x) [(3 cos 2x)/x - 6 (log 5 + log x) sin 2x]`
`= (5x)^(3 cos 2x) [(3 cos 2x)/x - 6 log 5x sin 2x]`
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सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
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(x2 + y2)2 = xy
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