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Question
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
Solution
हमारे पास, y = 2x2 – 5x + 3 है, जो बहुपद फलन है।
तो यह संतत और अलग-अलग है।
इस प्रकार माध्य मान प्रमेय की स्थिति संतुष्ट होती हैं।
इसलिए, कम से कम एक c ∈ (1, 2) मौजूद है जैसे कि,
f'(c) = `("f"(2) - "f"(1))/(2 - 1)`
⇒ 4c – 5 = `(1 - 0)/1`
⇒ 4c – 5 = 1
∴ c = `3/2 ∈ (1, 2)`
x = `3/2` के लिए, y = `2(3/2)^2 - 5(3/2) + 3` = 0
इसलिए, वक्र `(3/2, 0)` y = 2x2 – 5x + 3 पर बिंदु A(1, 0) और B(2, 1), के बीच का बिंदु है, जहाँ स्पर्शरेखा जीवा AB के समांतर है।
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
sin-1 `(x sqrtx), 0 ≤ x ≤ 1`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(cos^-1 x/2)/(sqrt(2x + 7))`, - 2 < x < 2`
यदि y = tan(x + y) है, तो `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
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x = 2 पर, f(x) = `{{:(x[x]",", "यदि" 0 ≤ x < 2),((x - 1)x",", "यदि" 2 ≤ x < 3):}`
`log [log(logx^5)]`
`sin sqrt(x) + cos^2 sqrt(x)`
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यदि y = tan–1x, तो केवल y के पदों में `("d"^2y)/("dx"^2)` ज्ञात कीजिए।
[– 2, 2] में f(x) = `sqrt(4 - x^2)`
[1, 4] में f(x) = `1/(4x - 1)`
वक्र y = (x – 3)2 पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा (3, 0) और (4, 1) बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर हो।
यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
यदि y = `sqrt(sinx + y)` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
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