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Question
समीकरण `(sqrt(3) - 1)costheta + (sqrt(3) + 1)sin theta` = 2 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
[संकेत: `sqrt(3) - 1` = r sinα, `sqrt(3) + 1` = r cosα रखिए, जिससे tanα = `tan(pi/4 - pi/6)` α = `pi/12` प्राप्त होता है।]
Solution
ज्ञात है कि,
`(sqrt(3) - 1)costheta + (sqrt(3) + 1)sin theta` = 2
`(sqrt(3) - 1)` = r sinα और `(sqrt(3) + 1)` = r cosα रखने पर
वर्ग लेकर जोडने पर,
`r^2 = 3 + 1 - 2sqrt3 + 3 + 1 + 2sqrt3`
⇒ `r^2 = 8`
⇒ `r^2 = ±2sqrt2`
दी गई अभिव्यक्ती इस प्रकार लिखें
⇒ r(sinα cosθ + cosα sinθ) = 2
⇒ `2sqrt2sin(alpha + theta) = 2`
⇒ `sin(alpha + theta) = 1/sqrt2`
अतः,
`sin(alpha + theta) = sin pi/4`
`(alpha + theta) = npi(-1)^2pi/4` ............(1)
`(sqrt3 - 1) = rsin alpha` को `(sqrt3 + 1) = rcosalpha` से विभाजित करने पर,
`(rsinalpha)/(rcosalpha) = (sqrt3 - 1)/(sqrt3 + 1)`
⇒ `tanalpha = (tan pi/3 - tan pi/4)/(1 + tan pi/3 xx tan pi/4)`
⇒ `tanalpha = tan(pi/3 - pi/4)`
⇒ `tanalpha = tan pi/12`
अतः, `alpha = pi/12`
`alpha = pi/12` को समीकरण (1) में रखने पर,
`(pi/12 + theta) = npi(-1)^2 pi/4`
⇒ `theta = npi(-1)^2pi/4 - pi/12`
दी गई अभिव्यक्ती का सामान्य हल `theta = npi(-1)^2pi/4 - pi/12, n ∈ Z` है।
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