NCERT Exemplar solutions for Mathematics [Hindi] Class 11 chapter 3 - त्रिकोणमितीय फलन [Latest edition]

3 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार तार को काट कर इस प्रकार मोड़ा जाता है कि वह 48 cm (त्रिज्या) वाले एक छल्ले की परिधि के अनुदिश स्थित हो जाए। अंशों (डिगरीस) में वह कोण ज्ञात कीजिए जो यह छल्ले के केंद्र पर अंतरित करता है।

यदि θ के सभी मानों के लिए A = cos²θ + sin⁴θ हो तो सिद्ध कीजिए कि `3/4` ≤ A ≤ 1 है।

`sqrt(3)` cosec 20° – sec 20° का मान ज्ञात कीजिए।

यदि θ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो दशाईए कि `sqrt((1 - sin theta)/(1 + sin theta)) + sqrt((1 + sin theta)/(1 - sin theta))` = −2sec θ

tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81° का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि `(sec8 theta - 1)/(sec4 theta - 1) = (tan8 theta)/(tan2 theta)`

sin θ + sin 3θ + sin 5θ = 0 को हल कीजिए।

2 tan²x + sec²x = 2, 0 ≤ x ≤ 2π के लिए, हल कीजिए।

`(1 + cos  pi/8)(1 + cos  (3pi)/8)(1 + cos  (5pi)/8)(1 + cos  (7pi)/8)` का मान ज्ञात कीजिए।

यदि x cos θ = `y cos (theta + (2pi)/3) = z cos (theta + (4pi)/3)` हो, तो xy + yz + zx का मान ज्ञात कीजिए।

यदि α और β समीकरण a tan θ + b sec θ = c के मूल हैं, तो सिद्ध कीजिए कि tan (α + β) = `(2ac)/(a^2 - c^2)` है।

सिद्ध कीजिए कि 2 sin²β + 4 cos (α + β) sin α sin β + cos 2(α + β) = cos 2α

यदि कोण θ को ऐसे भागों में विभाजित किया जाता है कि एक भाग का tangent दूसरे भाग के tangent का k गुना है, तथा इन भागों का अंतर φ है, तो सिद्ध कीजिए कि sinθ = `(k + 1)/(k - 1) sinφ`

`sqrt(3)` cos θ + sin θ = `sqrt(2)` को हल कीजिए।

यदि tan θ = `(-4)/3` है, तो sinθ है

यदि sinθ और cosθ समीकरण ax² – bx + c = 0 के मूल हैं, तो a, b और c निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करते हैं:

sinx cosx का अधिकतम मान है:

sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° का मान है

`cos  pi/5 cos  (2pi)/5 cos  (4pi)/5 cos  (8pi)/5` का मान है;

यदि, 3 tan (θ – 15°) = tan (θ + 15°), 0° < θ < 90° है, तो θ = ______ है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए |

"असमिका `2^sintheta + 2^costheta ≥ 2^(1 - 1/sqrt(2)) theta` के सभी वास्तविक मानों के लिए सत्य है।"

स्तंभ C₁ में दिए प्रत्येक प्रविष्ट की स्तंभ C₂ में दी गई प्रविष्टियों से मिलान कीजिए:

सिद्ध कीजिए कि `(tanA + secA  - 1)/(tanA - secA + 1) = (1 + sinA)/cosA`

यदि `(2sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)` = y है, तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha)` भी y के बराबर है।

संकेतः व्यक्त कीजिएः `(1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha) = (1 - cosalpha + sinalpha)/(1 + sinalpha) . (1 + cosalpha + sinalpha)/(1 + cosalpha + sinalpha)`

यदि m sinθ = n sin(θ + 2α) है, तो सिद्ध कीजिए कि tan(θ + α)cotα = `(m + n)/(m - n)`

`["संकेत:" (sin(theta + 2alpha))/sintheta = m/n "लिखकर योगांतरानुपात का प्रयोग कीजिए।"]`

यदि cos(α + β) = `4/5` और sin(α - β) = `5/13` है; जहाँ α, 0 और `π/4` के बीच स्थित है; तो tan2α का मान ज्ञात कीजिए।

[संकेत: tan2α को tan(α + β + α - β) के रूप में व्यक्त कीजिए।]

यदि tanx = `b/a` है, तो `sqrt((a + b)/(a - b)) + sqrt((a - b)/(a + b))` का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि cosθ `cos  theta/2 - cos 3theta cos  (9theta)/2` = sin7θ sin8θ है।

`["संकेत:"  "L.H.S." = 1/2[2costheta cos  theta/2 - 2 cos 3theta cos  (9theta)/2] "के रूप में व्यक्त कीजिए।"]`

यदि a cosθ + b sinθ = m और a sinθ - b cosθ = n है, तो सिद्ध कीजिए कि a² + b² = m² + n²  है।

[संकेत: मान लीजिए कि θ = 45° है। अत: `tan  theta/2 = (sin  theta/2)/(cos  theta/2) = (2sin  theta/2 cos  theta/2)/(2cos^2  theta/2) = sintheta/(1 + costheta)` का प्रयोग कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि sin4A = 4sinA cos³A - 4cosA sin³A है।

यदि tanθ + sinθ = m और tanθ - sinθ = n हो, तो सिद्ध कीजिए कि m² - n² = 4sinθ tanθ है।

[संकेत: m + n = 2tanθ, m - n = 2sinθ है। तो m² - n² = (m + n) (m - n) का प्रयोग कीजिए।]

यदि tan(A + B) = p और tan(A - B) = q है, तो सिद्ध कीजिए कि

यदि cosα + cosβ = 0 = sinα + sinβ है, तो सिद्ध कीजिए कि cos2α + cos2β = -2cos(α + β) है।

यदि `(sin(x + y))/(sin(x - y)) = (a + b)/(a - b)` है, तो सिद्ध कीजिए कि `tanx/tany = a/b` है।

[संकेत: योगांतरानुपात का प्रयोग कीजिए।]

यदि tanθ = `(sinalpha - cosalpha)/(sinalpha + cosalpha)` है, तो सिद्ध कीजिए कि sinα + cosα = `sqrt(2)` cosθ है।

[संकेत: व्यक्त कीजिए: tanθ = tan`(α - π/4) θ = α - π/4`]

यदि sinθ + cosθ = 1 है, तो θ का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण tanθ = -1 और `cosθ = 1/sqrt2` को संतुष्ट करने वाले θ का उभयनिष्ठ व्यापक मान ज्ञात कीजिए।

यदि cotθ + tanθ = 2cosecθ है, तो θ का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।

यदि 2sin²θ = 3cosθ है, जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2π है, तो θ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि secx cos5x + 1 = 0 है, जहाँ 0 < x ≤ `π/2` है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

यदि sin(θ + α) = a और sin(θ + β) = b है, तो सिद्ध कीजिए कि cos2(α − β) − 4ab cos(α − β) = 1 − 2a² − 2b² है।

[संकेत: cos(α − β) = cos{(θ + α) − (θ + β) लिखिए।]}

यदि cos(θ + Φ) = mcos(θ - Φ) है, तो सिद्ध कीजिए कि `tantheta = (1 - m)/(1 + m) cotphi` है।

[संकेत: `(cos(theta + phi))/(cos(theta - phi)) = m/1` के रूप में व्यक्त कर योगांतरानुपात का प्रयोग कीजिए।

व्यंजक `3[sin^4 ((3pi)/2 - alpha) + sin^4 (3pi + alpha)] - 2[sin^6 (pi/2 + alpha) + sin^6 (5pi - alpha)]` का मान ज्ञात कीजिए।

यदि acos2θ + bsin2θ = c के मूल α और β हैं, तो सिद्ध कीजिए कि tanα + tanβ = `(2b)/(a + c)` है।

`["संकेत: सर्वसमिकाओं" cos2theta = (1 - tan^2theta)/(1 + tan^2theta)  "और"  sin2theta =  (2tantheta)/(1 + tan^2theta) "का प्रयोग कीजिए।"]`

यदि x = secϕ - tanϕ और y = cosecϕ + cotϕ है, तो सिद्ध कीजिए कि xy + x - y + 1 = 0 है।

[संकेत: Find xy + 1 ज्ञात कीजिए और फिर सिद्ध कीजिए कि x, y = -(xy + 1) है।]

यदि θ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है तथा `costheta = 8/17` है, तो cos(30° + θ) + cos(45° - θ) + cos(120° - θ) का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक `cos^4  pi/8 + cos^4  (3pi)/8 + cos^4  (5pi)/8 + cos^4  (7pi)/8` का मान ज्ञात कीजिए।

[संकेत: व्यंजक `2(cos^4  pi/8 + cos^4  (3pi)/8) = 2[(cos^2  pi/8 + cos^2  (3pi)/8)^2 - 2cos^2  pi/8 cos^2  (3pi)/8]` के रूप में सरल कीजिए।

समीकरण 5cos²θ + 7sin²θ - 6 = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

समीकरण sinx - 3sin2x + sin3x = cosx - 3cos2x + cos3x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

समीकरण `(sqrt(3) - 1)costheta + (sqrt(3) + 1)sin theta` = 2 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

[संकेत: `sqrt(3) - 1` = r sinα, `sqrt(3) + 1` = r cosα रखिए, जिससे tanα = `tan(pi/4 - pi/6)` α = `pi/12` प्राप्त होता है।]

यदि sinθ + cosecθ = 2, तो sin²θ + cosec²θ बराबर है ______

यदि f(x) = cos²x + sec²x है, तो ______

[संकेत: A.M ≥ G.M.]

यदि tanθ = `1/2` और tanΦ = `1/3` है, तो θ + ϕ का मान है।

निम्नलिखित में से कौन सही नहीं है?

tan1° tan2° tan3° ... tan89° का मान है।

`(1 - tan^2 15^circ)/(1 + tan^2 15^circ)` का मान है।

cos1° cos2° cos3° ... cos179° का मान है।

यदि tanθ = 3 है और θ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो sinθ का मान है।

tan75° - cot75° का मान है।

निम्नलिखित में से कौन सही है?

[संकेत: 1 रेडियन = `180^circ/pi = 57^circ30^'` लगभग]

यदि tanα = `m/(m+1)`, और tanβ = `1/(2m + 1)` है, तो α + β बराबर है।

3cosx + 4sinx + 8 का न्यूनतम मान है।

tan3A - tan2A - tanA बराबर है।

sin(45° + θ) - cos(45° - θ) का मान है।

`cot(pi/4 + theta)cot(pi/4 - theta)` का मान है।

cos2θ cos2Φ + sin²(θ - Φ) - sin²(θ + Φ) बराबर है।

[संकेत: sin²A - sin²B = sin(A + B) sin(A - B) का प्रयोग कीजिए।]

cos12° + cos84° + cos156° + cos132° का मान है।

यदि `tanA = 1/2, tanB = 1/3` है, तो tan(2A + B) का मान बराबर है।

`sin  pi/10 sin  (13pi)/10` का मान है - 

[संकेत: `sin18^circ = (sqrt5 - 1)/4` और `cos36^circ = (sqrt5 + 1)/4` प्रयोग कीजिए।]

यदि sinθ + cosθ = 1 है, तो sin2θ का मान बराबर है -

यदि `α + β = π/4` है, तो (1 + tanα)(1 + tanβ) का मान बराबर है -

यदि sinθ = `(−4)/5` है और θ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो `cos  θ/2` का मान बराबर है -

अंतराल [0, 2π] में स्थित समीकरण tanx + secx  = 2cosx के हलों की संख्या है -

का मान निम्नलिखित है -

यदि A दुसरे चतुर्थांश में स्थित है तथा 3tanA + 4 = 0, तो 2cotA −  5cosA + sinA का मान है -

cos²48° – sin²12° का मान है -

[संकेत: cos²A – sin² B = cos(A + B) cos(A – B) का प्रयोग कीजिए।]

यदि tanα = `1/7` और tanβ = `1/3`, तो cos2α बराबर है -

यदि tanθ = `a/b` है, तो bcos2θ + asin2θ बराबर है -

यदि x की सभी वास्तविक मान के लिए, `cosθ = x + 1/x` है, तो ______

`(sin 50^circ)/(sin 130^circ)` का मान ______ है।

यदि k = `sin(π/18)sin((5π)/18)sin((7π)/18)` है, तो k का संख्यात्मक मान ______ है।

यदि `tanA = (1 − cosB)/sinB`, तो tan2A = ______.

यदि sinx + cosx = a, तो sin⁶x + cos⁶x = ______

यदि sinx + cosx = a, तो |sinx - cosx| = ______

एक त्रिभुज ABC, जिसमें ∠C = 90° के लिए वह समीकरण, जिसके मूल tanA और tanB हैं, ______ होगा।

[संकेत: A + B = 90° ⇒ tanA tanB = 1 और tanA + tanB = `2/(sin 2A)`]

3(sinx - cosx)⁴ + 6(sinx + cosx)² + 4(sin⁶x + cos⁶x) = ______

फलन `y = sqrt3sinx + cosx` के आलेख पर स्थित किसी बिंदु की x-अक्ष से अधिकतम दूरी ______ है।

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

यदि tanA = `(1−cosB)/sinB` है , तो tan2A = tanB

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

समिका sinA + sin2A + sin3A = 3 के कुछ वास्तविक मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

sin10°, cos10° से बड़ा है।

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

`cos  (2pi)/15 cos  (4pi)/15 cos  (8pi)/15 cos  (16pi)/15 = 1/16`

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

यदि cosecx = 1 + cotx, तो x = 2nπ, 2nπ + `π/2`

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

यदि tanθ + tan2θ + `sqrt3` tanθ tan2θ = `sqrt3`, तो θ = `(nπ)/3 + π/9`

प्रश्न में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

यदि tan(π cosθ) = cot(π sinθ) है, तो `cos(θ − π/4) = ±1/(2sqrt2)` है।

निम्नलिखित में स्तंभ C₁ में लिखे प्रत्येक व्यंजक को स्तंभ C₂ में दिए सही उत्तरों से सही मिलान कीजिए: