Question

f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

${\displaystyle f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\left|x\right|}{x}& \text{यदि} x\ne 0\\ 0& \text{यदि} x=0\end{array}}$

Answer 1

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x},\text{यदि} x\ne 0}$ के बराबर नहीं है 0, यदि x = 0

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}}$

= ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{\left|0-h\right|}{0-h}}$

= ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{-h}=-1}$

${\displaystyle h\to 0}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}}$

= ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{\left|0+h\right|}{0+h}}$

= ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{h}=1}$

अत: x = 0 पर f संतत नहीं है।