Question

Prove that :
2(sin⁶ θ + cos⁶ θ) − 3 (sin⁴ θ + cos⁴ θ) + 1 = 0

Answer 1

LHS = 2(sin⁶θ + cos⁶θ) - 3(sin⁴θ + cos⁴θ) + 1

Simplifying the expression 2(sin⁶θ + cos⁶θ) - 3(sin⁴θ + cos⁴) we have,
2(sin⁶θ + cos⁶θ) - 3(sin⁴θ + cos⁴θ)

= 2sin⁶θ + 2cos⁶θ - 3sin⁴θ - 3cos⁴θ

= (2sin⁶θ - 3sin⁴θ) + (2cos⁶θ - 3cos⁴θ)

= sin⁴θ(2sin²θ - 3) + cos⁴θ(2cos²θ - 3)

= sin⁴θ{2( 1 - cos²θ) - 3} + cos⁴θ{ 2( 1 - sin²θ) - 3} 

= sin⁴θ( 2 - 2cos²θ - 3) + cos⁴θ( 2 - 2sin²θ - 3)

= sin⁴θ( -1 - 2cos²θ) + cos⁴θ( - 1 - 2sin²θ)

= - sin⁴θ - 2sin⁴θcos²θ - cos⁴θ - 2cos⁴θsin²θ

= - sin⁴θ - cos⁴θ - 2cos⁴θsin²θ - 2sin⁴θcos²θ

= - sin⁴θ - cos⁴θ - 2cos²θsin²θ( cos²θ + sin²θ )

= - sin⁴θ - cos⁴θ - 2cos²θsin²θ(1)

= - sin⁴θ - cos⁴θ - 2cos²θsin²θ

= - (sin⁴θ + cos⁴θ + 2cos²θsin²θ)

= - {(sin²θ)² + (cos²θ)² + 2sin²θcos²θ }

= - (sin²θ + cos²θ)²

= - (1)²
= - 1
2(sin⁶θ + cos⁶θ) - 3(sin⁴θ + cos⁴θ) + 1 = −1 + 1 = 0 = RHS

Hence proved.