NCERT Exemplar solutions for Mathematics [Hindi] Class 10 chapter 8 - त्रिकोणमिति का परिचय और उसके अनुप्रयोग [Latest edition]

यदि cos A = `4/5` है, तो tan A का मान ______ है।

यदि sin A = `1/2` है, तो cot A का मान ______ है।

व्यंजक [cosec(75° + θ) – sec(15° – θ) – tan(55° + θ) + cot(35° – θ)] का मान ______ है।

यदि sin θ = `a/b` दिया है, तो cos θ से बराबर ______ है।

यदि cos (α + β) = 0 हो, तो sin (α – β) को निम्नलिखित के रूप में बदला जा सकता ______ है। 

(tan1° tan2° tan3°... tan89° का मान ______ है। 

यदि cos 9α = sinα है और 9α < 90° है, तो tan 5α का मान ______ है।

यदि ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण C समकोण है, तो cos (A + B) का मान ______ है।

यदि sinA + sin²A = 1 है, तो व्यंजक (cos²A + cos⁴A) का मान ______ है।

यदि sinα = `1/2` और cosβ = `1/2` दिया है, तो (α + β) का मान ______ है।

व्यंजक `[(sin^2 22^circ + sin^2 68^circ)/(cos^2 22^circ + cos^2 68^circ) + sin^2 63^circ + cos 63^circ sin 27^circ]` का मान ______ है। 

यदि 4 tanθ = 3 है, तो `((4 sin theta - cos theta)/(4 sin theta + cos theta))` बराबर ______ है।

यदि sinθ – cosθ = 0 है, तो (sin⁴θ + cos⁴θ) का मान ______ है।

sin(45° + θ) – cos(45° –  θ) बराबर ______ है।

6 m ऊँचे एक खंभे की छाया भूमि पर `2sqrt3` m लंबी है। तब, उस समय सूर्य का उन्नयन कोण ______ है।

`(tan 47^circ)/(cot 43^circ)` = 1 है।

व्यंजक (cos² 23° – sin² 67°) का मान धनात्मक है।

व्यंजक (sin 80° – cos 80°) का मान ऋणात्मक है।

`sqrt((1 - cos^2theta) sec^2 theta) = tan theta` 

यदि cosA + cos²A = 1 है, तो sin²A + sin⁴A = 1 है।   

यदि एक मीनार की छाया की लंबाई बढ़ रही है, तो सूर्य का उन्नयन कोण भी बढ़ रहा है।

यदि एक झील की सतह से 3 मीटर ऊपर एक प्लेटफार्म पर खड़ा एक व्यक्ति किसी बादल और झील में उसके परावर्तन को देखता है, तो उस बादल का उन्नयन कोण उसके परावर्तन के अवनमन कोण के बराबर होता है।

2sinθ का मान `a + 1/a` हो सकता है, जहाँ a एक धनात्मक संख्या है और a ≠ 1 है।

cos θ = `(a^2 + b^2)/(2ab)` है, जहाँ a और b ऐसी दो भिन्न संख्याएँ हैं कि ab > 0 है।

किसी मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई दुगुनी हो जाए, तो इसकी चोटी का उन्नयन कोण भी दुगुना हो जाएगा।

यदि एक मीनार की ऊँचाई तथा उसके आधार से प्रेक्षण बिंदु की दूरी दोनों ही 10% बढ़ जाते हैं, तो चोटी का उन्नयन कोण वही रहता है।

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

`sintheta/(1 + cos theta) + (1 + cos theta)/sintheta` = 2cosecθ

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

`tanA/(1 + sec A) - tanA/(1 - sec A)` = 2cosec A

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

यदि tan A = `3/4` है, तो sinA cosA = `12/25` है।

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

(sin α + cos α) (tan α + cot α) = sec α + cosec α

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

`(sqrt(3) + 1)(3 - cot  30^circ)` = tan³ 60° – 2 sin 60°

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

`1 + (cot^2 alpha)/(1 + "cosec" alpha)` = cosec α

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

tan θ + tan (90° – θ) = sec θ sec (90° – θ)

सूर्य का उस समय उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए, जब h मीटर ऊँचे एक खंभे की छाया की लंबाई `sqrt(3)` h मीटर है।

यदि `sqrt(3)` tan θ = 1 है, तो sin²θ – cos²θ का मान ज्ञात कीजिए।

15 मीटर लंबी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के ठीक ऊपरी सिरे पर पहुँच पाती है। यदि सीढ़ी इस समय दीवार से 60° का कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

(1 + tan²θ)(1 – sinθ)(1 + sinθ) को सरल कीजिए।

यदि 2sin²θ – cos²θ = 2 है, तो θ का मान ज्ञात कीजिए।  

दर्शाइए कि  `(cos^2(45^circ + theta) + cos^2(45^circ - theta))/(tan(60^circ + theta) tan(30^circ - theta))` = 1 है।

1.5 मीटर ऊँचाई वाला एक प्रेक्षक 22 मीटर ऊँची एक मीनार से 20.5 मीटर की दूरी पर खड़ा है। प्रेक्षक की आँख से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण निर्धारित कीजिए।

दर्शाइए की tan⁴θ + tan²θ = sec⁴θ – sec²θ है।

यदि cosec θ + cot θ = p है, तो सिद्ध कीजिए कि cos θ = `(p^2 - 1)/(p^2 + 1)` है। 

सिद्ध कीजिए कि `sqrt(sec^2 theta + "cosec"^2 theta) = tan theta + cot theta` है।

किसी बिंदु से एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। यदि प्रेक्षक दीवार की ओर 20 मीटर चलता है, तो उन्नयन कोण में 15° की वृद्धि हो जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

यदि 1 + sin²θ = 3sinθ cosθ है, तो सिद्ध कीजिए कि tanθ = 1 या `1/2` है।

यदि sinθ + 2cosθ = 1 दिया है, तो सिद्ध कीजिए कि 2sinθ – cosθ = 2 है।

किसी मीनार के आधार से s और t की दूरियों पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार की चोटी के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई `sqrt(st)` है।

एक समतल भूमि पर खड़ी मीनार की छाया की उस समय की लंबाई जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° है, उस समय की लंबाई से 50 m अधिक है जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° था। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

एक ऊर्ध्वाधर मीनार एक क्षैतिज समतल पर खड़ी है तथा उस पर h ऊँचाई का एक ऊर्ध्वाधर ध्वज-दंड लगा हुआ है। समतल के किसी बिंदु से ध्वज-दंड के निचले और ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण क्रमश : α और β हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई `((h  tan alpha)/(tan beta - tan alpha))` है।

यदि tan θ + sec θ = l है, तो सिद्ध कीजिए कि sec θ = `(l^2 + 1)/(2l)` है।

यदि sin θ + cos θ = p और sec θ + cosec θ = q है, तो सिद्ध कीजिए कि q(p² – 1) = 2p है।

यदि a sinθ + b cosθ = c है, तो सिद्ध कीजिए कि  a cosθ – b sinθ = `sqrt(a^2 + b^2 - c^2)` है।

सिद्ध कीजिए कि `(1 + sec theta - tan theta)/(1 + sec theta + tan theta) = (1 - sin theta)/(cos theta)` है।

30 m ऊँची एक मीनार की चोटी का उसी समतल भूमि पर खड़ी मीनार के आधार से उन्नयन कोण 60° है तथा दूसरी मीनार की चोटी का पहली मीनार के आधार से उन्नयन कोण 30° है। दोनों मीनारों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए तथा दूसरी मीनार की ऊँचाई भी ज्ञात कीजिए।

h ऊँचाई की किसी मीनार की चोटी से दो वस्तुओं, जो मीनार के आधार वाली रेखा में स्थित हैं, के अवनमन कोण α और β (β > α) हैं। दोनों वस्तुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। 

एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी हुई है तथा क्षैतिज से α कोण बनाती है। इसके निचले सिरे को दीवार से p दूरी अधिक पर कर दिया जाता है, जिससे सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर q दूरी नीचे खिसक जाता है तथा उस समय सीढ़ी क्षैतिज से कोण β बनाती है। दर्शाइए कि `p/q = (cos β - cos α)/(sin α - sin β)` है।

किसी ऊर्ध्वाधर मीनार की चोटी का भूमि पर स्थित किसी बिंदु से उन्नयन कोण 60° है। पहले बिंदु से 10 m उर्ध्वाधरत: ऊपर एक अन्य बिंदु पर उसका उन्नयन कोण 45° है। मीनार की उँचाई ज्ञात कीजिए।

किसी मकान की खिड़की भूमि से h m की ऊँचाई पर है। इस खिड़की से, सड़क के दूसरी ओर स्थित एक अन्य मकान के शिखर और आधार के क्रमशः उन्नयन और अवनमन कोण α और β पाए जाते हैं। सिद्ध कीजिए कि दूसरे मकान की ऊँचाई h(1 + tan α cot β) मीटर है।

किसी मकान की निचली खिड़की भूमि से 2 m की ऊँचाई पर है तथा उसकी ऊपरी खिड़की निचली खिड़की से ऊर्ध्वाधरत : 4 m ऊपर है। किसी क्षण इन खिड़कियों से एक गुब्बारे के उन्नयन कोण क्रमश : 60° और 30° प्रेक्षित किए गए। भूमि के ऊपर गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।